Determine o divergente e o rotacional do campo vetorial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a divergente e o rotacional do campo vetorial
. Esses conceitos são parte do cálculo vetorial e ajudam a entender como um campo se comporta em diferentes pontos do espaço. Para isso, vamos usar as fórmulas da divergente e do rotacional e calcular cada componente passo a passo.
Passo 2
Calculando a Divergente (
)
A divergente de um campo vetorial
é dada por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
-
Primeira derivada parcial:Aqui, tratamos
e como constantes em relação a . -
Segunda derivada parcial:Porque
não depende de . -
Terceira derivada parcial:Aqui, derivamos
em relação a , tratando e como constantes.
Agora, somando as três derivadas:
Passo 3
Calculando o Rotacional (
)
O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Vamos calcular cada componente:
-
Primeira componente:Então:
-
Segunda componente:Então:
-
Terceira componente:Então:
Juntando todas as componentes, temos:
Resposta
A divergente do campo vetorial
é:
E o rotacional do campo vetorial
é:
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Simplifique a expressão.
Seja
a metade superior da circunferência
, e
, com
, uma parametrização para
. A integral
, onde
é o valor da integral. Determine:
Seja
a metade superior da circunferência
, e
, com
, uma parametrização para
. A integral
, onde
é o valor da integral. Determine: