Determine o divergente e o rotacional do campo vetorial .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a divergente e o rotacional do campo vetorial . Esses conceitos são parte do cálculo vetorial e ajudam a entender como um campo se comporta em diferentes pontos do espaço. Para isso, vamos usar as fórmulas da divergente e do rotacional e calcular cada componente passo a passo.

Passo 2

Calculando a Divergente ( )
A divergente de um campo vetorial é dada por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Primeira derivada parcial:
    Aqui, tratamos e como constantes em relação a .
  2. Segunda derivada parcial:
    Porque não depende de .
  3. Terceira derivada parcial:
    Aqui, derivamos em relação a , tratando e como constantes.
Agora, somando as três derivadas:

Passo 3

Calculando o Rotacional ( )
O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira componente:
    Então:
  2. Segunda componente:
    Então:
  3. Terceira componente:
    Então:
Juntando todas as componentes, temos:

Resposta

A divergente do campo vetorial é:
E o rotacional do campo vetorial é:

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