Determine o divergente e o rotacional do campo vetorial .
2.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o divergente e o rotacional do campo vetorial . Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente do estudo de como analisar campos vetoriais usando operações como divergente e rotacional. Para resolver isso, vamos precisar saber as fórmulas dessas operações e como aplicá-las aos componentes do nosso campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente do campo . O divergente de um campo vetorial é dado por:
Isso nos diz como o campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto. Vamos calcular cada derivada parcial:
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Agora, somando tudo:
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional (ou curl) do campo . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Isso nos indica a tendência do campo de “girar” ao redor de um ponto. Vamos calcular cada componente: