Utilizando integração por partes, escreva quem é f(x) e g(x), f^prime(x) e g^prime(x) em cada item. Em seguida, resolva a integral.
© integral x^2 cdot e^x d x

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver a integral integral x^2 cdot e^x dx usando a técnica de integração por partes. Integração por partes é uma forma de integrar o produto de duas funções. Para isso, a gente vai precisar escolher quais partes da integral vão ser f(x) e g'(x). Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes que vamos usar:
  • Escolheremos f(x) = x^2, porque a derivada dela vai simplificar a expressão.
  • E g'(x) = e^x, já que a integral de e^x é fácil de calcular.
Agora, precisamos encontrar f'(x) e g(x):
  • Derivando f(x), temos f'(x) = 2x.
  • Integrando g'(x), temos g(x) = e^x.

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral f(x) cdot g'(x) dx = f(x) cdot g(x) - integral f'(x) cdot g(x) dx
Substituindo os valores que encontramos:
integral x^2 cdot e^x dx = x^2 cdot e^x - integral 2x cdot e^x dx

Passo 4

A gente precisa resolver agora a nova integral integral 2x cdot e^x dx. Vamos aplicar integração por partes de novo:
  • Escolhemos f(x) = 2x
  • g'(x) = e^x
Calculando:
  • f'(x) = 2
  • g(x) = e^x
Aplicando a fórmula:
integral 2x cdot e^x dx = 2x cdot e^x - integral 2 cdot e^x dx
A última integral é fácil:
integral 2 cdot e^x dx = 2e^x
Então:
integral 2x cdot e^x dx = 2x cdot e^x - 2e^x

Passo 5

Voltando à nossa primeira equação:
integral x^2 cdot e^x dx = x^2 cdot e^x - (2x cdot e^x - 2e^x)
Simplificando:
integral x^2 cdot e^x dx = x^2 cdot e^x - 2x cdot e^x + 2e^x + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral integral x^2 cdot e^x dx é igual a:
e^x cdot (x^2 - 2x + 2) + C

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