Utilizando a Regra da Substituição, faça u=g(x), encontre d u=g^prime(x) d x, escreva as modificações encontradas, resolva a integral na variável u e volte para a variável x.
(b) integral raiz2 x+1

Passo 1

Beleza, temos que resolver a integral integral raiz2x + 1, dx usando a Regra da Substituição. Isso faz parte do cálculo integral, onde a substituição ajuda a simplificar integrais complicadas. Vamos precisar identificar uma parte da expressão para substituir por uma nova variável u, encontrar a derivada dessa substituição, e depois reescrever a integral em termos de u.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o que substituir por u. Aqui, dentro da raiz, temos 2x + 1. Então, vamos definir:
u = 2x + 1

Passo 3

Agora, vamos encontrar du, que é a derivada de u em relação a x multiplicada por dx:
dudx = 2 Rightarrow du = 2, dx
Isso nos ajuda a expressar dx em termos de du:
dx = du2

Passo 4

Vamos substituir u e dx na integral original:
integral raiz2x + 1, dx = integral raizu cdot du2
Simplificando, tiramos o 12 da integral:
12 integral raizu, du

Passo 5

Agora, integramos raizu em relação a u. Lembrando que raizu = u^1/2 e que a integral de u^n é u^n+1n+1:
12 cdot u^3/23/2 = 12 cdot 23 u^3/2 = 13 u^3/2

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original x substituindo u = 2x + 1:
13 (2x + 1)^3/2 + C

Resposta

A integral integral raiz2x + 1, dx é igual a 13 (2x + 1)^3/2 + C, onde C é a constante de integração.

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