Utilizando integração por partes, escreva quem é f(x) e g(x), f^prime(x) e g^prime(x) em cada item. Em seguida, resolva a integral.
(b) integral ln (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. Esse método é útil quando a integral é do tipo produto de duas funções. Aqui, vamos precisar identificar qual parte da integral será (que vamos derivar) e qual será (que vamos integrar).

Passo 2

Primeiro, vamos escolher:

  • Porque a derivada de é mais simples.

  • Já que a integral de 1 é fácil de encontrar.

Passo 3

Agora, vamos derivar e integrar essas funções:

  • Derivada de .

  • Integral de 1 é .

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral f(x) g'(x) , dx = f(x) g(x) - integral g(x) f'(x) , dx
Substituindo os valores que encontramos:
integral ln(x) , dx = ln(x) cdot x - integral x cdot 1x , dx

Passo 5

Simplificando a integral restante:
integral x cdot 1x , dx = integral 1 , dx = x

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão:
integral ln(x) , dx = x ln(x) - x + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral ln(x) , dx = x ln(x) - x + C

Exercícios relacionados