Determine o divergente dos seguintes campos vetoriais:
A=2 x^2 y x+x z^3 y-4 z y z.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo vetorial onde precisa encontrar o divergente de um campo vetorial. O campo vetorial dado é:
A = 2x^2y, x + xz^3, y - 4zy, z
O conteúdo principal aqui é o divergente, que é uma operação que nos ajuda a entender como o campo está “se expandindo” ou “se contraindo” em cada ponto no espaço. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de cada componente do vetor em relação às suas respectivas variáveis e depois somar esses resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o divergente de um campo vetorial. Se temos um campo vetorial nabla cdot A = partial Axpartial x + partial Aypartial y + partial Azpartial z , o divergente é dado por:
Isso significa que vamos derivar cada componente do vetor em relação à sua própria variável e somar tudo isso no final.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Primeira componente ( partial Axpartial x = partialpartial x(2x^2y) = 4xy ) em relação a partial Aypartial y = partialpartial y(xz^3) = 0 :
partial Azpartial z = partialpartial z(-4zy) = -4y
Aqui, tratamos como uma constante e derivamos em relação a , que dá , mantendo o .
  1. Segunda componente ( ) em relação a :
Nesse caso, e são tratados como constantes em relação a , então a derivada é zero.
  1. Terceira componente ( ) em relação a :
Aqui, derivamos em relação a , resultando em .

Passo 4

Agora, vamos somar as derivadas parciais que calculamos para obter o divergente:
nabla cdot A = partial Axpartial x + partial Aypartial y + partial Azpartial z = 4xy + 0 - 4y = 4xy - 4y
Podemos simplificar esse resultado fatorando o nabla cdot A = 4y(x - 1) :

Resposta

O divergente do campo vetorial nabla cdot A = 4y(x - 1) é:

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