(a) Determine dois números complexos e tais .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar dois números complexos e que fazem com que a relação seja verdadeira. Isso está ligado ao estudo dos números complexos e da função logaritmo complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o logaritmo de um número complexo. Diferente do logaritmo real, o logaritmo complexo é multivalorado, o que significa que para um número complexo , há infinitos valores de que diferem por múltiplos de . A principal fórmula é:
onde é qualquer inteiro e é o argumento de .

Passo 3

A propriedade que normalmente usamos nos logaritmos reais nem sempre vale para números complexos por causa desses múltiplos de . Então, para que a igualdade não seja válida, precisamos que os argumentos somados de e causem um salto de .

Passo 4

Uma maneira simples de fazer isso é escolher e tais que ambos tenham argumentos que, ao serem somados, excedam . Por exemplo, vamos escolher e .

Passo 5

Vamos calcular :
Então,
Para a principal valor, consideramos , então .

Passo 6

Agora, vamos calcular :
Para o principal valor ( ), temos:

Resposta

Como e , eles não são iguais. Portanto, os números complexos e satisfazem a condição requerida.

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Determine um domínio em que a função dada é diferenciável.
(b)
Determine em que pontos a função é diferenciável.
(i) Mostre que a função dada é analítica em um domínio apropriado, e (ii) use as equações de Cauchy-Riemann para calcular a derivada da função no domínio.
(a)
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