(a) Determine dois números complexos
e
tais
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar dois números complexos
e
que fazem com que a relação
seja verdadeira. Isso está ligado ao estudo dos números complexos e da função logaritmo complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o logaritmo de um número complexo. Diferente do logaritmo real, o logaritmo complexo é multivalorado, o que significa que para um número complexo
, há infinitos valores de
que diferem por múltiplos de
. A principal fórmula é:
onde
é qualquer inteiro e
é o argumento de
.
Passo 3
A propriedade
que normalmente usamos nos logaritmos reais nem sempre vale para números complexos por causa desses múltiplos de
. Então, para que a igualdade não seja válida, precisamos que os argumentos somados de
e
causem um salto de
.
Passo 4
Uma maneira simples de fazer isso é escolher
e
tais que ambos tenham argumentos que, ao serem somados, excedam
. Por exemplo, vamos escolher
e
.
Passo 5
Vamos calcular
:
Então,
Para a principal valor, consideramos
, então
.
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Para o principal valor (
), temos:
Resposta
Como
e
, eles não são iguais. Portanto, os números complexos
e
satisfazem a condição requerida.
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Determine um domínio em que a função
dada é diferenciável.
(b)
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Determine em que pontos a função
é diferenciável.
(i) Mostre que a função dada é analítica em um domínio apropriado, e (ii) use as equações de Cauchy-Riemann para calcular a derivada da função no domínio.
(a)
(a)
(i) Mostre que a função dada não é analítica em qualquer ponto, mas é diferenciável ao longo das curvas indicadas, e (ii) use as equações de Cauchy-Riemann para calcular a derivada da função na curva.