(i) Mostre que a função dada é analítica em um domínio apropriado, e (ii) use as equações de Cauchy-Riemann para calcular a derivada da função no domínio.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função é analítica em algum domínio apropriado. Além disso, precisamos usar as equações de Cauchy-Riemann para calcular a derivada dessa função nesse domínio. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função analítica, as equações de Cauchy-Riemann e como aplicá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser analítica. Uma função de uma variável complexa é analítica em um domínio se ela é diferenciável em todos os pontos desse domínio. Para verificar isso, a gente usa as equações de Cauchy-Riemann, que dão condições sobre as derivadas parciais das partes real e imaginária da função.

Passo 3

Vamos separar a função em suas partes real e imaginária. Temos:
Aqui, é a parte real e é a parte imaginária de .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para as equações de Cauchy-Riemann. Precisamos de , , e .
Primeiro, calculamos :
Usando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 5

Agora, calculamos :
Usando a regra do quociente:

Passo 6

Agora, vamos calcular :
Usando a regra do quociente:

Passo 7

Finalmente, calculamos :
Usando a regra do quociente:

Passo 8

Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos aplicar as equações de Cauchy-Riemann. Essas equações dizem que, para que seja analítica, devem ser satisfeitas as seguintes condições:
Vamos verificar:
Para e :
Então, .
Para e :
Então, .

Passo 9

Como as condições das equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas, podemos concluir que a função é analítica no domínio onde , ou seja, em todo o plano complexo exceto no ponto .

Passo 10

Agora, vamos calcular a derivada de usando as equações de Cauchy-Riemann. A derivada de uma função analítica é dada por:
Usando os valores que calculamos:
Então:
Podemos fatorar o denominador:

Resposta

A derivada da função no domínio onde é:

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(a) Determine dois números complexos e tais .
Determine um domínio em que a função dada é diferenciável.
(b)
(i) Mostre que a função dada não é analítica em qualquer ponto, mas é diferenciável ao longo das curvas indicadas, e (ii) use as equações de Cauchy-Riemann para calcular a derivada da função na curva.
Seja , calcule .