(i) Mostre que a função dada é analítica em um domínio apropriado, e (ii) use as equações de Cauchy-Riemann para calcular a derivada da função no domínio.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função
é analítica em algum domínio apropriado. Além disso, precisamos usar as equações de Cauchy-Riemann para calcular a derivada dessa função nesse domínio. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função analítica, as equações de Cauchy-Riemann e como aplicá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser analítica. Uma função de uma variável complexa é analítica em um domínio se ela é diferenciável em todos os pontos desse domínio. Para verificar isso, a gente usa as equações de Cauchy-Riemann, que dão condições sobre as derivadas parciais das partes real e imaginária da função.
Passo 3
Vamos separar a função
em suas partes real e imaginária. Temos:
Aqui,
é a parte real e
é a parte imaginária de
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para as equações de Cauchy-Riemann. Precisamos de
,
,
e
.
Primeiro, calculamos
:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 5
Agora, calculamos
:
Usando a regra do quociente:
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Usando a regra do quociente:
Passo 7
Finalmente, calculamos
:
Usando a regra do quociente:
Passo 8
Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos aplicar as equações de Cauchy-Riemann. Essas equações dizem que, para que
seja analítica, devem ser satisfeitas as seguintes condições:
Vamos verificar:
Para
e
:
Então,
.
Para
e
:
Então,
.
Passo 9
Como as condições das equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas, podemos concluir que a função
é analítica no domínio onde
, ou seja, em todo o plano complexo exceto no ponto
.
Passo 10
Agora, vamos calcular a derivada de
usando as equações de Cauchy-Riemann. A derivada de uma função analítica é dada por:
Usando os valores que calculamos:
Então:
Podemos fatorar o denominador:
Resposta
A derivada da função
no domínio onde
é:
Exercícios relacionados
(a) Determine dois números complexos
e
tais
.
Determine um domínio em que a função
dada é diferenciável.
(b)
(b)
(i) Mostre que a função dada não é analítica em qualquer ponto, mas é diferenciável ao longo das curvas indicadas, e (ii) use as equações de Cauchy-Riemann para calcular a derivada da função na curva.
Seja
, calcule
.