(i) Mostre que a função dada não é analítica em qualquer ponto, mas é diferenciável ao longo das curvas indicadas, e (ii) use as equações de Cauchy-Riemann para calcular a derivada da função na curva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função complexa
, onde
. A questão tem duas partes:
- Mostrar que essa função não é analítica em nenhum ponto, mas é diferenciável ao longo das curvas indicadas (provavelmente os eixos coordenados).
- Usar as equações de Cauchy-Riemann para calcular a derivada da função nessas curvas.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser analítica, as condições de diferenciabilidade usando as equações de Cauchy-Riemann, e aplicar isso às curvas dos eixos coordenados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é analítica em um ponto se ela for diferenciável em uma vizinhança desse ponto. Então, se a função não for diferenciável em nenhum ponto ou apenas em pontos isolados, ela não é analítica em lugar nenhum.
Agora, vamos verificar a diferenciabilidade da função usando as equações de Cauchy-Riemann, que são condições necessárias para que uma função seja diferenciável em um ponto. As equações são:
Onde
e
são as partes real e imaginária da função
, respectivamente.
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa função:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos aplicar as equações de Cauchy-Riemann:
Primeira equação:
Vemos que essa igualdade sempre se mantém verdadeira, então a primeira condição é satisfeita para todos os pontos.
Segunda equação:
Para que isso seja verdade, precisamos que:
Isso acontece quando
ou
.
Passo 5
Então, a função
só satisfaz as equações de Cauchy-Riemann quando
ou
, ou seja, ao longo dos eixos coordenados (eixo real
e eixo imaginário
).
Como a função não satisfaz as equações de Cauchy-Riemann em nenhum outro ponto além desses eixos, ela não é diferenciável em nenhuma vizinhança de qualquer ponto, o que significa que não é analítica em nenhum ponto.
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada da função
ao longo das curvas onde ela é diferenciável, ou seja, nos eixos coordenados.
A derivada
é dada por:
Primeiro, ao longo do eixo real (
):
Então:
Agora, ao longo do eixo imaginário (
):
Então:
Resposta
A função
não é analítica em nenhum ponto, mas é diferenciável ao longo dos eixos coordenados. As derivadas da função são:
- Ao longo do eixo real (
): - Ao longo do eixo imaginário (
):
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(i) Mostre que a função dada é analítica em um domínio apropriado, e (ii) use as equações de Cauchy-Riemann para calcular a derivada da função no domínio.
(a)
(a)
(a) Determine dois números complexos
e
tais
.
Seja
, calcule
.
Seja
, calcule
.