(i) Mostre que a função dada não é analítica em qualquer ponto, mas é diferenciável ao longo das curvas indicadas, e (ii) use as equações de Cauchy-Riemann para calcular a derivada da função na curva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função complexa , onde . A questão tem duas partes:
  1. Mostrar que essa função não é analítica em nenhum ponto, mas é diferenciável ao longo das curvas indicadas (provavelmente os eixos coordenados).
  2. Usar as equações de Cauchy-Riemann para calcular a derivada da função nessas curvas.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser analítica, as condições de diferenciabilidade usando as equações de Cauchy-Riemann, e aplicar isso às curvas dos eixos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é analítica em um ponto se ela for diferenciável em uma vizinhança desse ponto. Então, se a função não for diferenciável em nenhum ponto ou apenas em pontos isolados, ela não é analítica em lugar nenhum.
Agora, vamos verificar a diferenciabilidade da função usando as equações de Cauchy-Riemann, que são condições necessárias para que uma função seja diferenciável em um ponto. As equações são:
Onde e são as partes real e imaginária da função , respectivamente.

Passo 3

Vamos identificar e na nossa função:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos aplicar as equações de Cauchy-Riemann:
Primeira equação:
Vemos que essa igualdade sempre se mantém verdadeira, então a primeira condição é satisfeita para todos os pontos.
Segunda equação:
Para que isso seja verdade, precisamos que:
Isso acontece quando ou .

Passo 5

Então, a função só satisfaz as equações de Cauchy-Riemann quando ou , ou seja, ao longo dos eixos coordenados (eixo real e eixo imaginário ).
Como a função não satisfaz as equações de Cauchy-Riemann em nenhum outro ponto além desses eixos, ela não é diferenciável em nenhuma vizinhança de qualquer ponto, o que significa que não é analítica em nenhum ponto.

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada da função ao longo das curvas onde ela é diferenciável, ou seja, nos eixos coordenados.
A derivada é dada por:
Primeiro, ao longo do eixo real ( ):
Então:
Agora, ao longo do eixo imaginário ( ):
Então:

Resposta

A função não é analítica em nenhum ponto, mas é diferenciável ao longo dos eixos coordenados. As derivadas da função são:
  • Ao longo do eixo real ( ):
  • Ao longo do eixo imaginário ( ):

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(i) Mostre que a função dada é analítica em um domínio apropriado, e (ii) use as equações de Cauchy-Riemann para calcular a derivada da função no domínio.
(a)
(a) Determine dois números complexos e tais .
Seja , calcule .
Seja , calcule .