Determine um domínio em que a função dada é diferenciável.
(b)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. A pergunta quer saber em quais pontos a função é diferenciável. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre funções analíticas no plano complexo, a função logarítmica complexa e onde a função pode não estar definida.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração, que é . Precisamos descobrir onde esse denominador é igual a zero, porque nesses pontos a função não está definida e, portanto, não é diferenciável.

Passo 3

Resolvendo , temos:
Então, e são pontos onde a função não está definida.

Passo 4

Agora, vamos olhar para o numerador . A função logarítmica complexa está definida para todos os números complexos que não são zero e que não estão no corte de ramo. Geralmente, escolhemos o corte de ramo ao longo do eixo negativo real para evitar ambiguidades.

Passo 5

Para que esteja definida, precisamos que e que não esteja no corte de ramo. Vamos primeiro resolver :
Então, é outro ponto onde a função não está definida.

Passo 6

Além disso, precisamos garantir que não seja um número real negativo, pois isso colocaria no corte de ramo da função logarítmica, tornando indefinida nessa região.

Resposta

Portanto, o domínio em que a função é diferenciável consiste em todos os números complexos que satisfazem:
Isso significa que a função é diferenciável em todo o plano complexo, exceto nos pontos , , e nos pontos onde cai na linha negativa real.

Exercícios relacionados

Determine em que pontos a função é diferenciável.
Utilizando a definição anterior, sem substituir por um valor numérico, prove que:
Se , então
(a) Determine dois números complexos e tais .
(i) Mostre que a função dada é analítica em um domínio apropriado, e (ii) use as equações de Cauchy-Riemann para calcular a derivada da função no domínio.
(a)