Determine um domínio em que a função
dada é diferenciável.
(b)
(b)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. A pergunta quer saber em quais pontos a função
é diferenciável. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre funções analíticas no plano complexo, a função logarítmica complexa e onde a função pode não estar definida.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador da fração, que é
. Precisamos descobrir onde esse denominador é igual a zero, porque nesses pontos a função não está definida e, portanto, não é diferenciável.
Passo 3
Resolvendo
, temos:
Então,
e
são pontos onde a função não está definida.
Passo 4
Agora, vamos olhar para o numerador
. A função logarítmica complexa
está definida para todos os números complexos
que não são zero e que não estão no corte de ramo. Geralmente, escolhemos o corte de ramo ao longo do eixo negativo real para evitar ambiguidades.
Passo 5
Para que
esteja definida, precisamos que
e que
não esteja no corte de ramo. Vamos primeiro resolver
:
Então,
é outro ponto onde a função não está definida.
Passo 6
Além disso, precisamos garantir que
não seja um número real negativo, pois isso colocaria
no corte de ramo da função logarítmica, tornando
indefinida nessa região.
Resposta
Portanto, o domínio em que a função
é diferenciável consiste em todos os números complexos
que satisfazem:
Isso significa que a função é diferenciável em todo o plano complexo, exceto nos pontos
,
,
e nos pontos onde
cai na linha negativa real.
Exercícios relacionados
Determine em que pontos a função
é diferenciável.
Utilizando a definição anterior, sem substituir
por um valor numérico, prove que:
Se , então
Se
(a) Determine dois números complexos
e
tais
.
(i) Mostre que a função dada é analítica em um domínio apropriado, e (ii) use as equações de Cauchy-Riemann para calcular a derivada da função no domínio.
(a)
(a)