Seja
é contínua em ? ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos apresenta uma função definida por partes e nos pergunta se ela é contínua nos pontos e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade, que basicamente verifica se o gráfico da função não tem “quebras” nesses pontos. Vamos precisar calcular os limites laterais da função nesses pontos e comparar com o valor da função nesses mesmos pontos.

Passo 2

Verificando a continuidade em :
Primeiro, vamos ver o que acontece quando se aproxima de 0 pelo lado esquerdo ( ) e pelo lado direito ( ).
  • Limite pela esquerda ( ):
    Quando , a função é . Então:
  • Limite pela direita ( ):
    Quando , a função é . Então:
Agora, vamos comparar esses limites com o valor da função em :
Como o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função em são iguais ( ), a função é contínua em .

Passo 3

Verificando a continuidade em :
Agora, vamos analisar o ponto . Aqui, precisamos considerar o comportamento de quando se aproxima de 2 pelo lado esquerdo ( ) e pelo lado direito ( ).
  • Limite pela esquerda ( ):
    Para , a função é . Calculando o limite:
  • Limite pela direita ( ):
    Para , a função é . Calculando o limite:
Agora, vamos ver o valor da função em :
Comparando os limites:
  • O limite pela esquerda é .
  • O limite pela direita e o valor da função em são .
Como os limites laterais não são iguais ( ), a função não é contínua em .

Resposta

A função é contínua em e não contínua em .

Exercícios relacionados

Desenhe um exemplo de uma região que seja (a) tanto do tipo I quanto do tipo II
Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas.
Determine dois números positivos cujo produto seja 192 e a soma do primeiro com o triplo do segundo seja mínima.