Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos apresenta uma função definida por partes e nos pergunta se ela é contínua nos pontos e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade, que basicamente verifica se o gráfico da função não tem “quebras” nesses pontos. Vamos precisar calcular os limites laterais da função nesses pontos e comparar com o valor da função nesses mesmos pontos.
Passo 2
Verificando a continuidade em :
Primeiro, vamos ver o que acontece quando se aproxima de 0 pelo lado esquerdo () e pelo lado direito ().
Limite pela esquerda ():
Quando , a função é . Então:
Limite pela direita ():
Quando , a função é . Então:
Agora, vamos comparar esses limites com o valor da função em :
Como o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função em são iguais (), a função é contínua em .
Passo 3
Verificando a continuidade em :
Agora, vamos analisar o ponto . Aqui, precisamos considerar o comportamento de quando se aproxima de 2 pelo lado esquerdo () e pelo lado direito ().
Limite pela esquerda ():
Para , a função é . Calculando o limite:
Limite pela direita ():
Para , a função é . Calculando o limite:
Agora, vamos ver o valor da função em :
Comparando os limites:
O limite pela esquerda é .
O limite pela direita e o valor da função em são .
Como os limites laterais não são iguais (), a função não é contínua em .