Determine o domínio, algebricamente e graficamente, das funções a seguir.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado do exercício. Precisamos determinar o domínio, tanto de forma algébrica quanto graficamente, da função . Para isso, vamos precisar entender o que define o domínio de uma função de duas variáveis e como representá-lo no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, x e y) para os quais a função está definida. Isso significa que não podemos ter situações que tornem a função indeterminada, como divisão por zero ou raízes de números negativos.

Passo 3

Observando a função , vemos que o denominador é o produto de x e y. Para que a função esteja definida, o denominador não pode ser zero, pois a divisão por zero não é permitida na matemática.

Passo 4

Então, vamos determinar quando . A multiplicação resulta em zero se, e somente se, pelo menos um dos fatores for zero. Portanto, a função não está definida quando x = 0 ou y = 0.

Passo 5

Concluímos que o domínio algébrico da função é todos os pares (x, y) onde x e y são diferentes de zero. Em termos de notação matemática, o domínio é:

Passo 6

Agora, para representar graficamente esse domínio, imaginamos o plano xy. A função está definida em todo lugar desse plano, exceto onde x = 0 (o eixo y) e y = 0 (o eixo x). Isso significa que o domínio corresponde a todas as áreas do plano, exceto os dois eixos que se cruzam no ponto (0,0).

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares (x, y) onde x e y são diferentes de zero, ou seja:
Graficamente, o domínio corresponde a todo o plano xy, exceto os eixos x = 0 e y = 0.

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