Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais e inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:
g(x) = x^4 - x^3/3 - 3/2 * x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisar a função . Isso envolve encontrar o domínio, assíntotas (horizontais, verticais e inclinadas), pontos extremos (máximos e mínimos), pontos de inflexão, regiões onde a função está crescendo ou decrescendo, concavidades e, por fim, desenhar o gráfico. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de álgebra e cálculo, como derivadas para encontrar as taxas de variação e pontos críticos.

Passo 2

Dominio da Função
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como é um polinômio, ela está definida para todos os números reais.
í

Passo 3

Assíntotas Horizontais
Assíntotas horizontais são linhas que a função se aproxima quando tende a ou . Para polinômios, a existência de assíntotas horizontais depende do grau do polinômio.
Aqui, o grau de é 4 (grau mais alto), então não há assíntotas horizontais.
í

Passo 4

Assíntotas Verticais
Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende a por algum valor de . Novamente, como é um polinômio, não há divisões por zero ou raízes que possam causar assíntotas verticais.
í

Passo 5

Assíntotas Inclinadas
Assíntotas inclinadas ocorrem quando o grau do numerador é exatamente um a mais que o do denominador em uma função racional. Como é um polinômio puro (sem denominador), não existem assíntotas inclinadas.
í

Passo 6

Pontos Extremos (Máximos e Mínimos)
Para encontrar os pontos extremos, vamos calcular a primeira derivada de e igualá-la a zero.
Agora, igualamos a zero:
Resolvendo:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 7

Teste da Primeira Derivada para Determinar Crescimento e Decrescimento
Vamos analisar o sinal da primeira derivada para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
  1. Intervalo : Escolha .
  2. Intervalo : Escolha .
  3. Intervalo : Escolha .
  4. Intervalo : Escolha .
Então, a função está:
  • Decrescente em
  • Crescente em
  • Decrescente em
  • Crescente em

Passo 8

Determinação dos Pontos Extremos (Máximos e Mínimos)
Utilizando o teste da primeira derivada:
  • Em , a derivada muda de negativa para positiva: mínimo local.
  • Em , a derivada muda de positiva para negativa: máximo local.
  • Em , a derivada muda de negativa para positiva: mínimo local.
Vamos calcular nesses pontos:
Então:
  • Mínimo local em
  • Máximo local em
  • Mínimo local em

Passo 9

Pontos de Inflexão e Concavidade
Para encontrar os pontos de inflexão, vamos calcular a segunda derivada de .
Igualamos a zero para encontrar possíveis pontos de inflexão:
Então, os pontos de inflexão são aproximadamente:
Concavidade:
  • Para , escolha :
  • Para , escolha :
  • Para , escolha :

Passo 10

Esboço do Gráfico
Agora que temos todas as informações:
  • Domínio:
  • Sem assíntotas
  • Pontos extremos: mínimo em , máximo em , mínimo em
  • Pontos de inflexão aproximados em e
  • Crescimento e decrescimento conforme identificado
  • Concavidade alternada
Com isso, podemos desenhar o gráfico considerando esses pontos e comportamentos.

Resposta

A função tem domínio em todos os números reais, não possui assíntotas, apresenta um mínimo local em , um máximo local em , e outro mínimo local em . Possui pontos de inflexão aproximados em e , com concavidades alternando entre côncava para cima e para baixo. O gráfico reflete esses comportamentos de crescimento, decrescimento e curvatura conforme detalhado nos passos anteriores.

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