Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais
inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisar a função
. Isso envolve encontrar o domínio, assíntotas (horizontais, verticais e inclinadas), pontos extremos (máximos e mínimos), pontos de inflexão, regiões onde a função está crescendo ou decrescendo, concavidades e, por fim, desenhar o gráfico. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de álgebra e cálculo, como derivadas para encontrar as taxas de variação e pontos críticos.
Passo 2
Dominio da Função
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como
é um polinômio, ela está definida para todos os números reais.
Passo 3
Assíntotas Horizontais
Assíntotas horizontais são linhas que a função se aproxima quando
tende a
ou
. Para polinômios, a existência de assíntotas horizontais depende do grau do polinômio.
Aqui, o grau de
é 4 (grau mais alto), então não há assíntotas horizontais.
Passo 4
Assíntotas Verticais
Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende a
por algum valor de
. Novamente, como
é um polinômio, não há divisões por zero ou raízes que possam causar assíntotas verticais.
Passo 5
Assíntotas Inclinadas
Assíntotas inclinadas ocorrem quando o grau do numerador é exatamente um a mais que o do denominador em uma função racional. Como
é um polinômio puro (sem denominador), não existem assíntotas inclinadas.
Passo 6
Pontos Extremos (Máximos e Mínimos)
Para encontrar os pontos extremos, vamos calcular a primeira derivada de
e igualá-la a zero.
Agora, igualamos a zero:
Resolvendo:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 7
Teste da Primeira Derivada para Determinar Crescimento e Decrescimento
Vamos analisar o sinal da primeira derivada para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
-
Intervalo
: Escolha . -
Intervalo
: Escolha . -
Intervalo
: Escolha . -
Intervalo
: Escolha .
Então, a função está:
- Decrescente em
- Crescente em
- Decrescente em
- Crescente em
Passo 8
Determinação dos Pontos Extremos (Máximos e Mínimos)
Utilizando o teste da primeira derivada:
- Em
, a derivada muda de negativa para positiva: mínimo local. - Em
, a derivada muda de positiva para negativa: máximo local. - Em
, a derivada muda de negativa para positiva: mínimo local.
Vamos calcular
nesses pontos:
Então:
- Mínimo local em
- Máximo local em
- Mínimo local em
Passo 9
Pontos de Inflexão e Concavidade
Para encontrar os pontos de inflexão, vamos calcular a segunda derivada de
.
Igualamos a zero para encontrar possíveis pontos de inflexão:
Então, os pontos de inflexão são aproximadamente:
Concavidade:
-
Para
, escolha : -
Para
, escolha : -
Para
, escolha :
Passo 10
Esboço do Gráfico
Agora que temos todas as informações:
- Domínio:
- Sem assíntotas
- Pontos extremos: mínimo em
, máximo em , mínimo em - Pontos de inflexão aproximados em
e - Crescimento e decrescimento conforme identificado
- Concavidade alternada
Com isso, podemos desenhar o gráfico considerando esses pontos e comportamentos.
Resposta
A função
tem domínio em todos os números reais, não possui assíntotas, apresenta um mínimo local em
, um máximo local em
, e outro mínimo local em
. Possui pontos de inflexão aproximados em
e
, com concavidades alternando entre côncava para cima e para baixo. O gráfico reflete esses comportamentos de crescimento, decrescimento e curvatura conforme detalhado nos passos anteriores.