Determine: Os extremos relativos de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é encontrar os extremos relativos da função . Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente do tópico de derivadas. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é igual a zero ou não está definida. Esses pontos são candidatos a serem extremos relativos (máximos ou mínimos).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função , que é representada por . A derivada nos ajuda a entender a inclinação da função em cada ponto.

Passo 3

Depois de encontrar , vamos resolver a equação . Os valores de que satisfazem essa equação são chamados pontos críticos e são onde podem ocorrer os extremos relativos.

Passo 4

Além disso, precisamos verificar onde a derivada não está definida, pois esses pontos também podem ser candidatos a extremos.

Passo 5

Com os pontos críticos em mãos, vamos analisar o comportamento da função nessas regiões. Podemos usar o Teste da Primeira Derivada ou o Teste da Segunda Derivada para determinar se cada ponto crítico é um máximo relativo, um mínimo relativo ou nenhum dos dois.

Passo 6

Teste da Primeira Derivada: Observamos o sinal de antes e depois de cada ponto crítico:
  • Se muda de positivo para negativo, temos um máximo relativo.
  • Se muda de negativo para positivo, temos um mínimo relativo.
  • Se não há mudança de sinal, não é um extremo.
Teste da Segunda Derivada: Calculamos :
  • Se no ponto crítico, é um mínimo relativo.
  • Se no ponto crítico, é um máximo relativo.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 7

Após identificar os pontos onde ocorrem os extremos relativos usando os testes acima, concluímos quais são os valores de onde atinge máximos e mínimos locais.

Resposta

Os extremos relativos de ocorrem nos pontos críticos onde a derivada é zero ou não está definida, e são classificados como máximos ou mínimos relativos de acordo com o comportamento da derivada nesses pontos.

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