Determine: Os extremos relativos de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão é encontrar os extremos relativos da função
. Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente do tópico de derivadas. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função
e analisar onde ela é igual a zero ou não está definida. Esses pontos são candidatos a serem extremos relativos (máximos ou mínimos).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
, que é representada por
. A derivada nos ajuda a entender a inclinação da função em cada ponto.
Passo 3
Depois de encontrar
, vamos resolver a equação
. Os valores de
que satisfazem essa equação são chamados pontos críticos e são onde podem ocorrer os extremos relativos.
Passo 4
Além disso, precisamos verificar onde a derivada
não está definida, pois esses pontos também podem ser candidatos a extremos.
Passo 5
Com os pontos críticos em mãos, vamos analisar o comportamento da função nessas regiões. Podemos usar o Teste da Primeira Derivada ou o Teste da Segunda Derivada para determinar se cada ponto crítico é um máximo relativo, um mínimo relativo ou nenhum dos dois.
Passo 6
Teste da Primeira Derivada: Observamos o sinal de
antes e depois de cada ponto crítico:
- Se
muda de positivo para negativo, temos um máximo relativo. - Se
muda de negativo para positivo, temos um mínimo relativo. - Se não há mudança de sinal, não é um extremo.
Teste da Segunda Derivada: Calculamos
:
- Se
no ponto crítico, é um mínimo relativo. - Se
no ponto crítico, é um máximo relativo. - Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 7
Após identificar os pontos onde ocorrem os extremos relativos usando os testes acima, concluímos quais são os valores de
onde
atinge máximos e mínimos locais.
Resposta
Os extremos relativos de
ocorrem nos pontos críticos onde a derivada
é zero ou não está definida, e são classificados como máximos ou mínimos relativos de acordo com o comportamento da derivada nesses pontos.