Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais e inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:
f(x) = tg^2(x), x ∈ (-pi/2, pi/2)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para analisar a função no intervalo . A gente vai determinar o domínio, assíntotas, pontos extremos, pontos de inflexão, regiões de crescimento e decrescimento, concavidades e até fazer o gráfico da função. Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções trigonométricas, derivadas e análise gráfica.

Passo 2

Dominio da função:
A função é definida para todos os onde . No intervalo , o cosseno nunca é zero, então a função está definida em todo esse intervalo. Portanto, o domínio é:

Passo 3

Assíntotas verticais:
Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende ao infinito. No caso da , as assíntotas verticais estão em , mas como nosso domínio não inclui exatamente esses pontos, identificamos que próximos a esses valores a função se aproxima de infinito. Portanto, temos:
como assíntotas verticais.

Passo 4

Assíntotas horizontais e inclinadas:
Vamos verificar o limite da função quando tende aos extremos do domínio:
Como os limites tendem ao infinito, não há assíntotas horizontais ou inclinadas.

Passo 5

Primeira derivada para encontrar pontos extremos e regiões de crescimento/decrescimento:
Vamos derivar :
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Então, temos um ponto crítico em .
Analisando o sinal da derivada:
  • Para : , → Decresce.
  • Para : , → Cresce.
Portanto, é um ponto de mínimo relativo.

Passo 6

Segunda derivada para encontrar pontos de inflexão e concavidades:
Vamos derivar novamente :
Simplificando:
Como a segunda derivada é sempre positiva, a função é côncava para cima em todo o domínio e não possui pontos de inflexão.

Passo 7

Resumo das análises:
  • Domínio:
  • Assíntotas verticais: e
  • Assíntotas horizontais/inclinadas: Nenhuma
  • Pontos extremos: Mínimo relativo em ,
  • Regiões de crescimento:
  • Regiões de decrescimento:
  • Concavidades: Côncava para cima em todo o domínio
  • Pontos de inflexão: Nenhum

Resposta

A função definida em possui:
  • Domínio:
  • Assíntotas verticais: e
  • Assíntotas horizontais/inclinadas: Nenhuma
  • Ponto extremo: Mínimo relativo em com valor
  • Regiões de crescimento: De a
  • Regiões de decrescimento: De a
  • Concavidade: Côncava para cima em todo o domínio
  • Pontos de inflexão: Nenhum
O gráfico da função apresenta uma curva similar a um “U” invertido, mínimo em , aproximando-se das assíntotas verticais conforme se aproxima de .

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