Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais
inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para analisar a função
no intervalo
. A gente vai determinar o domínio, assíntotas, pontos extremos, pontos de inflexão, regiões de crescimento e decrescimento, concavidades e até fazer o gráfico da função. Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções trigonométricas, derivadas e análise gráfica.
Passo 2
Dominio da função:
A função é definida para todos os
onde
. No intervalo
, o cosseno nunca é zero, então a função está definida em todo esse intervalo. Portanto, o domínio é:
A função
Passo 3
Assíntotas verticais:
Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende ao infinito. No caso da , as assíntotas verticais estão em
, mas como nosso domínio não inclui exatamente esses pontos, identificamos que próximos a esses valores a função se aproxima de infinito. Portanto, temos:
Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende ao infinito. No caso da
como assíntotas verticais.
Passo 4
Assíntotas horizontais e inclinadas:
Vamos verificar o limite da função quando tende aos extremos do domínio:
Vamos verificar o limite da função quando
Como os limites tendem ao infinito, não há assíntotas horizontais ou inclinadas.
Passo 5
Primeira derivada para encontrar pontos extremos e regiões de crescimento/decrescimento:
Vamos derivar :
Vamos derivar
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Analisando o sinal da derivada:
- Para
: , → → Decresce. - Para
: , → → Cresce.
Portanto,
é um ponto de mínimo relativo.
Passo 6
Segunda derivada para encontrar pontos de inflexão e concavidades:
Vamos derivar novamente :
Vamos derivar novamente
Simplificando:
Como a segunda derivada é sempre positiva, a função é côncava para cima em todo o domínio e não possui pontos de inflexão.
Passo 7
Resumo das análises:
- Domínio:
- Assíntotas verticais:
e - Assíntotas horizontais/inclinadas: Nenhuma
- Pontos extremos: Mínimo relativo em
, - Regiões de crescimento:
- Regiões de decrescimento:
- Concavidades: Côncava para cima em todo o domínio
- Pontos de inflexão: Nenhum
Resposta
A função
definida em
possui:
- Domínio:
- Assíntotas verticais:
e - Assíntotas horizontais/inclinadas: Nenhuma
- Ponto extremo: Mínimo relativo em
com valor - Regiões de crescimento: De
a - Regiões de decrescimento: De
a - Concavidade: Côncava para cima em todo o domínio
- Pontos de inflexão: Nenhum
O gráfico da função apresenta uma curva similar a um “U” invertido, mínimo em
, aproximando-se das assíntotas verticais conforme
se aproxima de
.