Encontre os pontos de inflexão da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo.
g(x) = { x^3 ; x < 0 ; x^4 ; x ≥ 0 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar os pontos de inflexão da função definida por partes, e também determinar onde o gráfico dela é côncavo para cima ou para baixo. Isso está relacionado ao estudo de derivadas, especificamente à segunda derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são pontos de inflexão. Um ponto de inflexão é aquele onde a curva muda sua concavidade, ou seja, passa de côncava para cima para côncava para baixo, ou vice-versa. Para encontrar esses pontos, precisamos analisar a segunda derivada da função.

Passo 3

Vamos calcular a primeira e a segunda derivada de cada parte da função .
Para :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Para :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda derivada para cada intervalo e verificar onde ela muda de sinal, indicando uma mudança na concavidade.
Para :
Quando , . Isso significa que a função é c��ncava para baixo nesse intervalo.
Para :
Aqui, é sempre não negativo, então . Isso indica que a função é côncava para cima nesse intervalo.

Passo 5

Precisamos também verificar o ponto de transição , para ver se há um ponto de inflexão ali. Vamos observar a concavidade nos dois lados de :
Para , a concavidade é para baixo.
Para , a concavidade é para cima.
Como a concavidade muda ao passar por , há um ponto de inflexão nesse ponto.

Resposta

Portanto, a função tem um ponto de inflexão em . O gráfico é côncavo para baixo quando e côncavo para cima quando .

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