Encontre os pontos de inflexão da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar os pontos de inflexão da função
definida por partes, e também determinar onde o gráfico dela é côncavo para cima ou para baixo. Isso está relacionado ao estudo de derivadas, especificamente à segunda derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são pontos de inflexão. Um ponto de inflexão é aquele onde a curva muda sua concavidade, ou seja, passa de côncava para cima para côncava para baixo, ou vice-versa. Para encontrar esses pontos, precisamos analisar a segunda derivada da função.
Passo 3
Vamos calcular a primeira e a segunda derivada de cada parte da função
.
Para
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Para
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Agora, vamos analisar a segunda derivada para cada intervalo e verificar onde ela muda de sinal, indicando uma mudança na concavidade.
Para
:
Quando
,
. Isso significa que a função é c��ncava para baixo nesse intervalo.
Para
:
Aqui,
é sempre não negativo, então
. Isso indica que a função é côncava para cima nesse intervalo.
Passo 5
Precisamos também verificar o ponto de transição
, para ver se há um ponto de inflexão ali. Vamos observar a concavidade nos dois lados de
:
Para
, a concavidade é para baixo.
Para
, a concavidade é para cima.
Como a concavidade muda ao passar por
, há um ponto de inflexão nesse ponto.
Resposta
Portanto, a função
tem um ponto de inflexão em
. O gráfico é côncavo para baixo quando
e côncavo para cima quando
.