Encontre os pontos de inflexão da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os pontos de inflexão da função
e determinar onde o gráfico é côncavo para cima e para baixo. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, como derivadas segunda, que nos ajudam a entender a concavidade das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função dada:
Essa é uma função definida por partes, ou seja, tem uma expressão diferente dependendo do valor de
.
Passo 3
Para encontrar os pontos de inflexão e a concavidade, precisamos calcular a segunda derivada de
. A concavidade muda onde a segunda derivada muda de sinal, o que indica um ponto de inflexão.
Passo 4
Vamos calcular a primeira derivada
para cada parte da função:
Passo 5
Agora, calculamos a segunda derivada
:
A segunda derivada nos diz sobre a concavidade:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Passo 6
Vamos analisar a concavidade:
- Para
, → côncava para cima. - Para
, → côncava para baixo.
Passo 7
Identificamos um ponto de inflexão no ponto onde a concavidade muda, ou seja, em
.
Resposta
A função
tem um ponto de inflexão em
. O gráfico é côncavo para cima quando
e côncavo para baixo quando
.