Encontre os pontos de inflexão da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo.
h(x) = { x² - 1 ; x < 2 7 - x² ; x ≥ 2 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os pontos de inflexão da função e determinar onde o gráfico é côncavo para cima e para baixo. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, como derivadas segunda, que nos ajudam a entender a concavidade das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dada:
Essa é uma função definida por partes, ou seja, tem uma expressão diferente dependendo do valor de .

Passo 3

Para encontrar os pontos de inflexão e a concavidade, precisamos calcular a segunda derivada de . A concavidade muda onde a segunda derivada muda de sinal, o que indica um ponto de inflexão.

Passo 4

Vamos calcular a primeira derivada para cada parte da função:

Passo 5

Agora, calculamos a segunda derivada :
A segunda derivada nos diz sobre a concavidade:
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.

Passo 6

Vamos analisar a concavidade:
  • Para , → côncava para cima.
  • Para , → côncava para baixo.

Passo 7

Identificamos um ponto de inflexão no ponto onde a concavidade muda, ou seja, em .

Resposta

A função tem um ponto de inflexão em . O gráfico é côncavo para cima quando e côncavo para baixo quando .

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