Encontre os pontos de inflexão da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os pontos de inflexão da função
e determinar onde o gráfico é côncavo para cima e para baixo. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, como derivadas segunda, que nos ajudam a entender a concavidade das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função dada:
Essa é uma função definida por partes, ou seja, tem uma expressão diferente dependendo do valor de
.
Passo 3
Para encontrar os pontos de inflexão e a concavidade, precisamos calcular a segunda derivada de
. A concavidade muda onde a segunda derivada muda de sinal, o que indica um ponto de inflexão.
Passo 4
Vamos calcular a primeira derivada
para cada parte da função:
Passo 5
Agora, calculamos a segunda derivada
:
A segunda derivada nos diz sobre a concavidade:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Passo 6
Vamos analisar a concavidade:
- Para
, → côncava para cima. - Para
, → côncava para baixo.
Passo 7
Identificamos um ponto de inflexão no ponto onde a concavidade muda, ou seja, em
.
Resposta
A função
tem um ponto de inflexão em
. O gráfico é côncavo para cima quando
e côncavo para baixo quando
.
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404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(605,363) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“33” d=“M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z”></path></g></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(4464.3,0)”><path data-c=“2212” d=“M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z”></path></g><g data-mml-node=“msup” transform=“translate(5464.6,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(605,363) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(6695.3,0)”><path data-c=“2212” d=“M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(7695.6,0)”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span></div>
</body></html>
Calcule as seguintes integrais usando o método de substituiço:
<html><head></head><body><div>Encontre os pontos de inflexão da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo.<br>
<span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -2.148ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“19.463ex” height=“5.428ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1449.5 8602.7 2399”><title>g(x) = { x^3 ; x < 0 ; x^4 ; x ≥ 0 }</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D454” d=“M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 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scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“34” d=“M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z”></path></g></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1008.6,0)”><path data-c=“3B” d=“M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 85 94 103T137 121Q202 121 202 8Q202 -44 183 -94T144 -169T118 -194Q115 -194 106 -186T95 -174Q94 -171 107 -155T137 -107T160 -38Q161 -32 162 -22T165 -4T165 4Q165 5 161 4T142 0Q110 0 94 18T78 60Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mtd” transform=“translate(2286.6,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 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666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z”></path></g></g></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(5442.1,0) translate(0 250)”></g></g></g></g></svg></mjx-container></span></div>
</body></html>
<html><head></head><body><div>Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.014ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.192ex” height=“1.036ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -452 527 458”><title>e</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D41E” d=“M32 225Q32 332 102 392T272 452H283Q382 452 436 401Q494 343 494 243Q494 226 486 222T440 217Q431 217 394 217T327 218H175V209Q175 177 179 154T196 107T236 69T306 50Q312 49 323 49Q376 49 410 85Q421 99 427 111T434 127T442 133T463 135H468Q494 135 494 117Q494 110 489 97T468 66T431 32T373 5T292 -6Q181 -6 107 55T32 225ZM383 276Q377 346 348 374T280 402Q253 402 230 390T195 357Q179 331 176 279V266H383V276Z”></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:<br>
<span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.816ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“21.65ex” height=“3.04ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -983.2 9569.3 1343.7”><title>g(x) = x^4 - x^3/3 - 3/2 * x^2</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D454” d=“M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.014ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.192ex” height=“1.036ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -452 527 458”><title>e</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D41E” d=“M32 225Q32 332 102 392T272 452H283Q382 452 436 401Q494 343 494 243Q494 226 486 222T440 217Q431 217 394 217T327 218H175V209Q175 177 179 154T196 107T236 69T306 50Q312 49 323 49Q376 49 410 85Q421 99 427 111T434 127T442 133T463 135H468Q494 135 494 117Q494 110 489 97T468 66T431 32T373 5T292 -6Q181 -6 107 55T32 225ZM383 276Q377 346 348 374T280 402Q253 402 230 390T195 357Q179 331 176 279V266H383V276Z”></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:<br>
<span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.816ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“21.65ex” height=“3.04ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -983.2 9569.3 1343.7”><title>g(x) = x^4 - x^3/3 - 3/2 * x^2</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D454” d=“M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 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