Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar várias características da função . Vamos trabalhar com conceitos de funções polinomiais, domínio, assíntotas, derivadas para encontrar pontos extremos, pontos de inflexão, intervalos de crescimento e decrescimento, e concavidades. Vamos precisar usar cálculos de derivadas e algumas regras básicas de análise de funções polinomiais.

Passo 2

Domínio da função:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como é um polinômio, ele está definido para todo valor real de .
Então, o domínio é:

Passo 3

Assíntotas:
Assíntotas são retas que a função se aproxima, mas nunca toca. Existem três tipos principais: horizontais, verticais e inclinadas.
Para polinômios tradicionais como , não há assíntotas verticais ou inclinadas, já que polinômios são definidos para todo e crescem indefinidamente sem se aproximar de uma reta específica.
Assíntotas Horizontais:
Analisamos o comportamento de quando tende para e .
Como o grau do polinômio é 4 (par) e o coeficiente líder é positivo, quando , . Portanto, não há assíntotas horizontais.

Passo 4

Pontos Extremos (Máximos e Mínimos):
Para encontrar os pontos extremos, precisamos calcular a primeira derivada e encontrar onde ela é zero ou não existe.
Primeira derivada de :
Igualamos a zero:
Temos um único ponto crítico em .
Teste da Derivada:
Para saber se é máximo ou mínimo, analisamos o sinal da derivada antes e depois de .
  • Para , , então (decrescente).
  • Para , , então (crescente).
Isso indica que em temos um ponto de mínimo.
Valor de :
Então, o ponto mínimo é .

Passo 5

Pontos de Inflexão:
Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Calculamos a segunda derivada:
Igualamos a segunda derivada a zero:
Agora, analisamos o sinal da segunda derivada:
  • Para qualquer , , então .
Não há mudança de concavidade, já que a segunda derivada é sempre não negativa. Portanto, não há pontos de inflexão.

Passo 6

Regiões de Crescimento e Decrescimento:
Já vimos na primeira derivada:
  • Para , está decrescendo.
  • Para , está crescendo.

Passo 7

Concavidades:
Analisamos a segunda derivada :
  • Como para todo , a função é côncava para cima em todo o seu domínio.

Passo 8

Gráfico da Função:
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico de :
  • Domínio: Toda a linha real.
  • Ponto de mínimo: .
  • Crescente: Para .
  • Decrescente: Para .
  • Concavidade: Sempre côncava para cima.
  • Sem assíntotas.
O gráfico terá uma forma de “U” bem achatada devido ao expoente 4, tocando o ponto mínimo em e subindo para ambos os lados.

Resposta

A função tem domínio em todos os números reais, não possui assíntotas, apresenta um ponto de mínimo em , está decrescendo para e crescendo para . A concavidade da função é sempre para cima e não possui pontos de inflexão. O gráfico é uma curva em forma de “U” que toca o ponto mínimo em e sobe indefinidamente em ambas as direções.

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