Encontre os pontos de inflexão da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos encontrar os pontos de inflexão da função e determinar onde o gráfico dela é côncavo para cima e côncavo para baixo. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente sobre derivadas e concavidade. Vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função para analisar essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função de forma clara:
Essa é uma função definida por partes, onde para valores de menores ou iguais a zero, a função é , e para valores maiores que zero, é .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada da função , que nos dará a inclinação da função em cada ponto.
Para :
Para :

Passo 4

Agora, calculamos a segunda derivada de , que nos ajuda a entender a concavidade da função.
Para :
Para :

Passo 5

Analisando a segunda derivada:
  • Quando , a função é côncava para cima.
  • Quando , a função é côncava para baixo.
Para :
éô
Para :
éô

Passo 6

Um ponto de inflexão ocorre onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Observamos que a segunda derivada muda de positiva para negativa em .
Vamos verificar a continuidade da função e de suas derivadas em :
A função é contínua e derivável em , então é um ponto de inflexão.

Resposta

A função tem um ponto de inflexão em . O gráfico é côncavo para cima quando e côncavo para baixo quando .

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