Encontre os pontos de inflexão da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos encontrar os pontos de inflexão da função e determinar onde o gráfico dela é côncavo para cima e côncavo para baixo. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente sobre derivadas e concavidade. Vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função para analisar essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função de forma clara:
Essa é uma função definida por partes, onde para valores de
menores ou iguais a zero, a função é
, e para valores maiores que zero, é
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada da função
, que nos dará a inclinação da função em cada ponto.
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, calculamos a segunda derivada de
, que nos ajuda a entender a concavidade da função.
Para
:
Para
:
Passo 5
Analisando a segunda derivada:
- Quando
, a função é côncava para cima. - Quando
, a função é côncava para baixo.
Para
:
Para
:
Passo 6
Um ponto de inflexão ocorre onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Observamos que a segunda derivada muda de positiva para negativa em
.
Vamos verificar a continuidade da função e de suas derivadas em
:
A função é contínua e derivável em
, então
é um ponto de inflexão.
Resposta
A função tem um ponto de inflexão em
. O gráfico é côncavo para cima quando
e côncavo para baixo quando
.