Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos analisar a função . Nosso objetivo aqui é descobrir várias características dessa função, como domínio, assíntotas, máximos e mínimos, pontos de inflexão, onde ela cresce ou decresce, e como é sua concavidade. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas primeira e segunda. Vamos lá!

Passo 2

Domínio da Função
O domínio de uma função são todos os valores de para os quais a função está definida. Aqui, temos raízes cúbicas e quadráticas.
  • está definida para todo real.
  • também está definida para todo real, já que elevar ao quadrado elimina o sinal negativo.
Então, o domínio de é (todos os números reais).

Passo 3

Assíntotas
Assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca. Vamos verificar os tipos:
  • Assíntotas Horizontais: Observamos o comportamento de quando tende a e .
    ãé
    Não há assíntotas horizontais.
  • Assíntotas Verticais: São valores de que fazem a função tender ao infinito. Como a função está definida para todo , não há assíntotas verticais.
  • Assíntotas Inclinadas: Geralmente associadas a funções racionais. Como nossa função não é racional, não há assíntotas inclinadas.

Passo 4

Pontos Extremos e Onde a Função Cresce ou Decresce
Vamos encontrar a derivada primeira para analisar o crescimento e os pontos extremos.
Derivando termo a termo:
Simplificando:
Para achar os pontos críticos, igualamos :
Multiplicando por :
Então, temos um ponto crítico em .
Teste da Derivada:
  • Para , por exemplo :
    A função está crescendo.
  • Para , por exemplo :
    A função está decrescendo.
Portanto, em temos um máximo local.

Passo 5

Pontos de Inflexão e Concavidade
Vamos encontrar a derivada segunda :
Derivando novamente:
Simplificando:
Para encontrar pontos de inflexão, igualamos :
Multiplicando por :
Então, há um ponto de inflexão em .
Teste da Concavidade:
  • Para , por exemplo :
    A concavidade é para baixo.
  • Para , por exemplo :
    A concavidade é para cima.

Passo 6

Gráfico da Função
Com todas as informações coletadas:
  • Domínio:
  • Sem assíntotas
  • Máximo em
  • Ponto de inflexão em
  • Cresce em e decresce em
  • Concavidade para baixo em e para cima em
O gráfico terá uma curva que sobe até , atinge um pico, começa a descer após esse ponto, e muda de concavidade em .

Resposta

O domínio de é todos os números reais. A função não possui assíntotas horizontais, verticais ou inclinadas. Possui um máximo local em e um ponto de inflexão em . A função cresce para e decresce para . A concavidade é para baixo quando e para cima quando . Com base nisso, o gráfico da função apresenta uma curva que sobe até , atinge um pico, começa a descer após esse ponto e muda de concavidade em .

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Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:
Encontre os pontos de inflexão da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo.
Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:
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