Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais
inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos analisar a função
. Nosso objetivo aqui é descobrir várias características dessa função, como domínio, assíntotas, máximos e mínimos, pontos de inflexão, onde ela cresce ou decresce, e como é sua concavidade. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas primeira e segunda. Vamos lá!
Passo 2
Domínio da Função
O domínio de uma função são todos os valores de
para os quais a função está definida. Aqui, temos raízes cúbicas e quadráticas.
-
está definida para todo real. -
também está definida para todo real, já que elevar ao quadrado elimina o sinal negativo.
Então, o domínio de
é
(todos os números reais).
Passo 3
Assíntotas
Assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca. Vamos verificar os tipos:
-
Assíntotas Horizontais: Observamos o comportamento de
quando tende a e . Não há assíntotas horizontais. -
Assíntotas Verticais: São valores de
que fazem a função tender ao infinito. Como a função está definida para todo , não há assíntotas verticais. -
Assíntotas Inclinadas: Geralmente associadas a funções racionais. Como nossa função não é racional, não há assíntotas inclinadas.
Passo 4
Pontos Extremos e Onde a Função Cresce ou Decresce
Vamos encontrar a derivada primeira
para analisar o crescimento e os pontos extremos.
Derivando termo a termo:
Simplificando:
Para achar os pontos críticos, igualamos
:
Multiplicando por
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Teste da Derivada:
-
Para
, por exemplo : A função está crescendo. -
Para
, por exemplo : A função está decrescendo.
Portanto, em
temos um máximo local.
Passo 5
Pontos de Inflexão e Concavidade
Vamos encontrar a derivada segunda
:
Derivando novamente:
Simplificando:
Para encontrar pontos de inflexão, igualamos
:
Multiplicando por
:
Então, há um ponto de inflexão em
.
Teste da Concavidade:
-
Para
, por exemplo : A concavidade é para baixo. -
Para
, por exemplo : A concavidade é para cima.
Passo 6
Gráfico da Função
Com todas as informações coletadas:
- Domínio:
- Sem assíntotas
- Máximo em
- Ponto de inflexão em
- Cresce em
e decresce em - Concavidade para baixo em
e para cima em
O gráfico terá uma curva que sobe até
, atinge um pico, começa a descer após esse ponto, e muda de concavidade em
.
Resposta
O domínio de
é todos os números reais. A função não possui assíntotas horizontais, verticais ou inclinadas. Possui um máximo local em
e um ponto de inflexão em
. A função cresce para
e decresce para
. A concavidade é para baixo quando
e para cima quando
. Com base nisso, o gráfico da função apresenta uma curva que sobe até
, atinge um pico, começa a descer após esse ponto e muda de concavidade em
.
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Encontre os pontos de inflexão da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo.
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