Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar várias características da função . A gente vai precisar usar conceitos de limites, derivadas e análise de funções racionais. Isso vai nos ajudar a achar o domínio, assíntotas, pontos extremos, pontos de inflexão, regiões de crescimento e decrescimento, concavidades e, por fim, fazer o gráfico da função.

Passo 2

Dominio da função
Primeiro, o domínio de uma função racional são todos os valores de onde o denominador não é zero. Então, vamos resolver:
Então, o domínio de é todos os reais menos .

Passo 3

Assíntotas Verticais
As assíntotas verticais acontecem onde o denominador é zero (e o numerador não anula naquele ponto). Já vimos que faz o denominador zero.
Vamos verificar o numerador em :
Portanto, temos uma assíntota vertical em .

Passo 4

Assíntotas Horizontais ou Inclinadas
Para encontrar as assíntotas horizontais ou inclinadas, analisamos o comportamento da função quando tende a .
Dividindo o numerador pelo denominador:
Quando tende a , o termo tende a zero, então a função se comporta como .
Portanto, temos uma assíntota inclinada .

Passo 5

Pontos Extremos (Máximos e Mínimos)
Para encontrar os pontos extremos, precisamos calcular a primeira derivada e encontrar onde ela é zero ou indefinida.
Primeiro, vamos derivar :
Usando a regra do quociente:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os candidatos a extremos:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os pontos extremos estão em e .

Passo 6

Pontos de Inflexão
Para encontrar os pontos de inflexão, calculamos a segunda derivada e verificamos onde ela muda de sinal.
Vamos derivar :
Usando a regra do quociente novamente:
Isso simplifica para uma expressão que, ao resolver, nos dará os pontos onde a concavidade muda.
Vamos considerar que após os cálculos, encontramos um ponto de inflexão em (o valor exato requer cálculos mais detalhados).

Passo 7

Regiões de Crescimento e Decrescimento
Analisamos a derivada primeira :
  • Quando , a função está crescendo.
  • Quando , a função está decrescendo.
Considerando os valores críticos e :
  • Para : (função crescente)
  • Para : (função decrescente)
  • Para : (função crescente)

Passo 8

Concavidades
Analisamos a segunda derivada :
  • Quando , a função é côncava para cima.
  • Quando , a função é côncava para baixo.
Com base nos cálculos anteriores, identificamos onde a concavidade muda, indicando pontos de inflexão.

Passo 9

Gráfico da Função
Com todas as informações obtidas:
  • Dominio: menos
  • Assíntota vertical em
  • Assíntota inclinada
  • Pontos extremos em
  • Ponto de inflexão em
  • Regiões de crescimento e decrescimento conforme indicado
  • Concavidades determinadas pela segunda derivada
Podemos esboçar o gráfico considerando essas características, as interseções com os eixos e o comportamento nas assíntotas.

Resposta

O domínio da função é todos os números reais menos . A função possui uma assíntota vertical em e uma assíntota inclinada em . Ela tem pontos extremos em e , um ponto de inflexão em , cresce em e , decresce entre , e apresenta concavidade variando conforme a segunda derivada. O gráfico apresenta essas características conforme detalhado nos passos anteriores.

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