f(x) = { (x + 9)^2 - 8 ; x < -7; -raiz(25 - (x + 4)^2) ; -7 <= x <= 0; (x - 2)^2 - 7 ; x > 0 }

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Aqui temos uma função definida por partes:
O conteúdo da matéria envolve funções definidas por partes e análise de domínio. Vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e determinar para quais valores de a função está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da função individualmente para entender onde ela está definida e quais são seus comportamentos.
  1. Primeira parte: para
    • Tipo de função: Essa é uma função quadrática deslocada.
    • Domínio: Está definida para todos os menores que -7.
  2. Segunda parte: para
    • Tipo de função: Essa é uma função raiz quadrada negativa.
    • Domínio: O que está dentro da raiz, , deve ser maior ou igual a zero para termos números reais. Vamos resolver isso.
  3. Terceira parte: para
    • Tipo de função: Outra função quadrática deslocada.
    • Domínio: Definida para todos os maiores que 0.

Passo 3

Vamos detalhar o domínio da segunda parte, pois envolve uma raiz quadrada, e queremos garantir que a expressão dentro da raiz não seja negativa.
Temos:
Para resolver essa desigualdade:
  1. Primeiro, isolamos o quadrado:
  1. Tiramos a raiz dos dois lados (lembrando que o quadrado de qualquer número é sempre positivo):
  1. Isso significa que:
  1. Subtraindo 4 de todas as partes:
Mas a segunda parte da função já está definida para , que está dentro do intervalo que encontramos. Portanto, não há restrições adicionais além das já dadas.

Passo 4

Agora que entendemos o domínio de cada parte, podemos concluir o domínio total da função .
  • Primeira parte:
  • Segunda parte:
  • Terceira parte:
Não há sobreposição ou lacunas entre esses intervalos, então o domínio total de é todos os números reais, ou seja:
í

Passo 5

Vamos resumir tudo que vimos:
  • A função está definida por três partes, cada uma com seu próprio intervalo de .
  • Analisamos cada parte para garantir que todas as expressões sejam válidas e identificamos que não há restrições além das já dadas nos intervalos.
  • Portanto, a função está definida para todos os valores de .

Resposta

O domínio da função é todos os números reais, ou seja:
í

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