Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Aqui temos uma função definida por partes:
O conteúdo da matéria envolve funções definidas por partes e análise de domínio. Vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e determinar para quais valores de a função está definida.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da função individualmente para entender onde ela está definida e quais são seus comportamentos.
Primeira parte: para
Tipo de função: Essa é uma função quadrática deslocada.
Domínio: Está definida para todos os menores que -7.
Segunda parte: para
Tipo de função: Essa é uma função raiz quadrada negativa.
Domínio: O que está dentro da raiz, , deve ser maior ou igual a zero para termos números reais. Vamos resolver isso.
Terceira parte: para
Tipo de função: Outra função quadrática deslocada.
Domínio: Definida para todos os maiores que 0.
Passo 3
Vamos detalhar o domínio da segunda parte, pois envolve uma raiz quadrada, e queremos garantir que a expressão dentro da raiz não seja negativa.
Temos:
Para resolver essa desigualdade:
Primeiro, isolamos o quadrado:
Tiramos a raiz dos dois lados (lembrando que o quadrado de qualquer número é sempre positivo):
Isso significa que:
Subtraindo 4 de todas as partes:
Mas a segunda parte da função já está definida para , que está dentro do intervalo que encontramos. Portanto, não há restrições adicionais além das já dadas.
Passo 4
Agora que entendemos o domínio de cada parte, podemos concluir o domínio total da função .
Primeira parte:
Segunda parte:
Terceira parte:
Não há sobreposição ou lacunas entre esses intervalos, então o domínio total de é todos os números reais, ou seja:
í
Passo 5
Vamos resumir tudo que vimos:
A função está definida por três partes, cada uma com seu próprio intervalo de .
Analisamos cada parte para garantir que todas as expressões sejam válidas e identificamos que não há restrições além das já dadas nos intervalos.
Portanto, a função está definida para todos os valores de .
Resposta
O domínio da função é todos os números reais, ou seja: