Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais
inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Neste exercício, vamos analisar a função polinomial
. Vamos determinar o domínio, assíntotas, pontos extremos e de inflexão, regiões de crescimento e decrescimento, concavidade e, por fim, esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas para encontrar essas características.
Passo 2
Domínio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como
é um polinômio, ele está definido para todos os números reais. Portanto, o domínio de
é:
Passo 3
Assíntotas Horizontais: Assíntotas horizontais ocorrem quando
tende ao infinito ou a menos infinito. Para funções polinomiais, o comportamento assintótico é determinado pelo termo de maior grau.
Para
, o termo de maior grau é
. Como o grau é ímpar e o coeficiente líder é positivo, a função tende a
quando
tende a
e a
quando
tende a
. Portanto, não há assíntotas horizontais.
Assíntotas Verticais: Assíntotas verticais ocorrem geralmente em funções racionais onde o denominador se anula. Como
é um polinômio e não possui denominador variável, não há assíntotas verticais.
Assíntotas Inclinadas: Para verificar assíntotas inclinadas, analisamos o limite da função quando
tende a
. A função polinomial de grau 3 não possui assíntotas inclinadas, pois o comportamento assintótico já foi descrito.
Passo 4
Derivadas para Pontos Extremos e de Inflexão:
Primeiro, vamos encontrar a primeira e a segunda derivadas de
.
Pontos Extremos: São encontrados onde
.
Para determinar se são máximos ou mínimos, usamos a segunda derivada:
-
Em
: Então,é ponto de máximo. -
Em
: Então,é ponto de mínimo.
Pontos de Inflexão: São encontrados onde
.
Portanto,
é ponto de inflexão.
Passo 5
Regiões de Crescimento e Decrescimento:
Analisamos o sinal da primeira derivada
.
-
Para
: A função está crescendo. -
Para
: A função está decrescendo. -
Para
: A função está crescendo.
Concavidade:
Analisamos o sinal da segunda derivada
.
-
Para
: A função é côncava para baixo. -
Para
: A função é côncava para cima.
Passo 6
Resumo das Características:
- Domínio:
- Assíntotas Horizontais: Nenhuma
- Assíntotas Verticais: Nenhuma
- Assíntotas Inclinadas: Nenhuma
- Pontos Extremos:
- Máximo em
, - Mínimo em
,
- Máximo em
- Ponto de Inflexão:
, - Regiões de Crescimento:
e - Regiões de Decrescimento:
- Concavidade:
- Côncava para baixo em
- Côncava para cima em
- Côncava para baixo em
Resposta
A função
possui domínio em todos os números reais. Não possui assíntotas horizontais, verticais ou inclinadas. Apresenta um ponto de máximo em
com
, um ponto de mínimo em
com
e um ponto de inflexão em
com
. A função cresce nos intervalos
e
, e decresce em
. É côncava para baixo quando
e côncava para cima quando
. O gráfico reflete essas características, exibindo um comportamento típico de uma função polinomial de terceiro grau.
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