Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Neste exercício, vamos analisar a função polinomial . Vamos determinar o domínio, assíntotas, pontos extremos e de inflexão, regiões de crescimento e decrescimento, concavidade e, por fim, esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas para encontrar essas características.

Passo 2

Domínio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como é um polinômio, ele está definido para todos os números reais. Portanto, o domínio de é:

Passo 3

Assíntotas Horizontais: Assíntotas horizontais ocorrem quando tende ao infinito ou a menos infinito. Para funções polinomiais, o comportamento assintótico é determinado pelo termo de maior grau.
Para , o termo de maior grau é . Como o grau é ímpar e o coeficiente líder é positivo, a função tende a quando tende a e a quando tende a . Portanto, não há assíntotas horizontais.
Assíntotas Verticais: Assíntotas verticais ocorrem geralmente em funções racionais onde o denominador se anula. Como é um polinômio e não possui denominador variável, não há assíntotas verticais.
Assíntotas Inclinadas: Para verificar assíntotas inclinadas, analisamos o limite da função quando tende a . A função polinomial de grau 3 não possui assíntotas inclinadas, pois o comportamento assintótico já foi descrito.

Passo 4

Derivadas para Pontos Extremos e de Inflexão:
Primeiro, vamos encontrar a primeira e a segunda derivadas de .
Pontos Extremos: São encontrados onde .
Para determinar se são máximos ou mínimos, usamos a segunda derivada:
  • Em :
    Então, é ponto de máximo.
  • Em :
    Então, é ponto de mínimo.
Pontos de Inflexão: São encontrados onde .
Portanto, é ponto de inflexão.

Passo 5

Regiões de Crescimento e Decrescimento:
Analisamos o sinal da primeira derivada .
  • Para :
    A função está crescendo.
  • Para :
    A função está decrescendo.
  • Para :
    A função está crescendo.
Concavidade:
Analisamos o sinal da segunda derivada .
  • Para :
    A função é côncava para baixo.
  • Para :
    A função é côncava para cima.

Passo 6

Resumo das Características:
  • Domínio:
  • Assíntotas Horizontais: Nenhuma
  • Assíntotas Verticais: Nenhuma
  • Assíntotas Inclinadas: Nenhuma
  • Pontos Extremos:
    • Máximo em ,
    • Mínimo em ,
  • Ponto de Inflexão: ,
  • Regiões de Crescimento: e
  • Regiões de Decrescimento:
  • Concavidade:
    • Côncava para baixo em
    • Côncava para cima em

Resposta

A função possui domínio em todos os números reais. Não possui assíntotas horizontais, verticais ou inclinadas. Apresenta um ponto de máximo em com , um ponto de mínimo em com e um ponto de inflexão em com . A função cresce nos intervalos e , e decresce em . É côncava para baixo quando e côncava para cima quando . O gráfico reflete essas características, exibindo um comportamento típico de uma função polinomial de terceiro grau.

Exercícios relacionados

Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:
Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:
Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:
Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções: