Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais
inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Então, a gente tem a função
. O objetivo aqui é descobrir várias características dela: onde ela está definida (domínio), se tem algum tipo de assíntota (horizontal, vertical ou inclinada), onde a função atinge seus pontos mais altos ou mais baixos (pontos extremos), onde muda de curvatura (pontos de inflexão), onde ela está crescendo ou diminuindo, e também qual é o formato do gráfico dessa função. Para tudo isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra e cálculo, especialmente derivadas para analisar o crescimento, decrescimento, concavidade e pontos de interesse.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela tem que ser maior ou igual a zero:
Então, o domínio é todos os
maiores ou iguais a -3.
Passo 3
Agora, vamos verificar as assíntotas horizontais. Assíntotas horizontais ocorre quando
tende ao infinito positivo ou negativo e a função se aproxima de um valor constante. Vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Como o limite é infinito, não há assíntota horizontal.
Passo 4
Vamos verificar as assíntotas verticais. Assíntotas verticais ocorrem quando a função tende a infinito em algum ponto do domínio. Olhando para o domínio
, o único ponto que poderia causar uma assíntota vertical é
. Vamos verificar:
Como o limite é finito, não há assíntota vertical.
Passo 5
Agora, vamos ver se tem alguma assíntota inclinada. Assíntotas inclinadas aparecem quando, ao infinito, a função se comporta como uma reta do tipo
. Para verificar isso, calculamos:
Como o limite é infinito, não há assíntota inclinada.
Passo 6
Vamos encontrar os pontos extremos da função, ou seja, os pontos onde a função tem máximos ou mínimos locais. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada
e encontrar onde ela é zero ou não existe.
Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação:
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Agora, igualamos a derivada a zero:
Então, temos um ponto crítico em
. Vamos verificar se é máximo ou mínimo usando a segunda derivada ou analisando o sinal da primeira derivada em torno desse ponto.
Passo 7
Vamos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Analisando a derivada
:
- Quando
, , então : a função está decrescendo. - Quando
, , então : a função está crescendo.
Então, a função tem um mínimo local em
.
Passo 8
Vamos encontrar os pontos de inflexão e a concavidade da função. Para isso, calculamos a segunda derivada
.
Começamos com a primeira derivada:
Derivando novamente:
Simplificando:
Igualando a segunda derivada a zero para encontrar possíveis pontos de inflexão:
No entanto,
não está no domínio
, então não há pontos de inflexão.
Agora, analisando a concavidade:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Para
:
- Quando
(o que está sempre dentro do domínio), , então : concavidade para cima.
Passo 9
Agora, vamos resumir tudo que encontramos para fazer o gráfico da função:
- Domínio:
- Sem assíntotas horizontais, verticais ou inclinadas
- Ponto mínimo em
: vamos calcular - Crescimento: para
- Decrescimento: para
- Concavidade: sempre para cima
Com essas informações, conseguimos esboçar o gráfico da função.
Resposta
O domínio de
é
. A função não possui assíntotas horizontais, verticais ou inclinadas. Ela apresenta um ponto mínimo em
, está decrescendo no intervalo
e crescendo para
. A concavidade é sempre para cima. Com base nisso, o gráfico da função começa em
, desce até o ponto mínimo em
e depois cresce indefinidamente, sempre com concavidade para cima.
Exercícios relacionados
Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais
inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:
Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais
inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:
Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais
inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:
Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais
inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções: