Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Então, a gente tem a função . O objetivo aqui é descobrir várias características dela: onde ela está definida (domínio), se tem algum tipo de assíntota (horizontal, vertical ou inclinada), onde a função atinge seus pontos mais altos ou mais baixos (pontos extremos), onde muda de curvatura (pontos de inflexão), onde ela está crescendo ou diminuindo, e também qual é o formato do gráfico dessa função. Para tudo isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra e cálculo, especialmente derivadas para analisar o crescimento, decrescimento, concavidade e pontos de interesse.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela tem que ser maior ou igual a zero:
Então, o domínio é todos os maiores ou iguais a -3.

Passo 3

Agora, vamos verificar as assíntotas horizontais. Assíntotas horizontais ocorre quando tende ao infinito positivo ou negativo e a função se aproxima de um valor constante. Vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:
Como o limite é infinito, não há assíntota horizontal.

Passo 4

Vamos verificar as assíntotas verticais. Assíntotas verticais ocorrem quando a função tende a infinito em algum ponto do domínio. Olhando para o domínio , o único ponto que poderia causar uma assíntota vertical é . Vamos verificar:
Como o limite é finito, não há assíntota vertical.

Passo 5

Agora, vamos ver se tem alguma assíntota inclinada. Assíntotas inclinadas aparecem quando, ao infinito, a função se comporta como uma reta do tipo . Para verificar isso, calculamos:
Como o limite é infinito, não há assíntota inclinada.

Passo 6

Vamos encontrar os pontos extremos da função, ou seja, os pontos onde a função tem máximos ou mínimos locais. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada e encontrar onde ela é zero ou não existe.
Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação:
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Agora, igualamos a derivada a zero:
Então, temos um ponto crítico em . Vamos verificar se é máximo ou mínimo usando a segunda derivada ou analisando o sinal da primeira derivada em torno desse ponto.

Passo 7

Vamos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Analisando a derivada :
  • Quando , , então : a função está decrescendo.
  • Quando , , então : a função está crescendo.
Então, a função tem um mínimo local em .

Passo 8

Vamos encontrar os pontos de inflexão e a concavidade da função. Para isso, calculamos a segunda derivada .
Começamos com a primeira derivada:
Derivando novamente:
Simplificando:
Igualando a segunda derivada a zero para encontrar possíveis pontos de inflexão:
No entanto, não está no domínio , então não há pontos de inflexão.
Agora, analisando a concavidade:
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Para :
  • Quando (o que está sempre dentro do domínio), , então : concavidade para cima.

Passo 9

Agora, vamos resumir tudo que encontramos para fazer o gráfico da função:
  • Domínio:
  • Sem assíntotas horizontais, verticais ou inclinadas
  • Ponto mínimo em : vamos calcular
  • Crescimento: para
  • Decrescimento: para
  • Concavidade: sempre para cima
Com essas informações, conseguimos esboçar o gráfico da função.

Resposta

O domínio de é . A função não possui assíntotas horizontais, verticais ou inclinadas. Ela apresenta um ponto mínimo em , está decrescendo no intervalo e crescendo para . A concavidade é sempre para cima. Com base nisso, o gráfico da função começa em , desce até o ponto mínimo em e depois cresce indefinidamente, sempre com concavidade para cima.

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