Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais
inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo como domínio da função, assíntotas, derivadas para encontrar pontos extremos e de inflexão, e comportamento da função em termos de crescimento e concavidade. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Domínio da função: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso de
, a divisão por zero não é permitida. Então, precisamos encontrar os valores de
que fazem o denominador ser zero.
Resolvendo
, temos
. Portanto, o domínio de
é todos os reais exceto
.
Domínio:
Passo 3
Assíntotas Verticais: Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende ao infinito, geralmente onde o denominador é zero e o numerador não é zero ao mesmo ponto.
Já vimos que
faz o denominador zero. Vamos verificar o numerador nesse ponto:
Como o numerador não é zero, há uma assíntota vertical em
.
Assíntota Vertical:
Passo 4
Assíntotas Horizontais ou Oblíquas: Para encontrar assíntotas horizontais ou inclinadas, analisamos o comportamento da função quando
tende ao infinito positivo ou negativo.
Podemos fazer a divisão polinomial de
por
:
À medida que
tende ao infinito, o termo
tende a zero. Portanto, a função se aproxima de
, que é uma assíntota oblíqua.
Assíntota Oblíqua:
Passo 5
Derivadas para Pontos Extremos e de Inflexão:
Para encontrar pontos extremos (máximos e mínimos) e pontos de inflexão, precisamos calcular as derivadas da função.
Primeiro, vamos simplificar a função usando a divisão polinomial:
Agora, calculamos a primeira derivada para encontrar onde a função tem crescimento ou decrescimento e possíveis extremos.
Para encontrar os pontos extremos, igualamos
a zero:
Então,
e
Agora, vamos verificar se são máximos ou mínimos usando a segunda derivada ou analisando o sinal da primeira derivada.
Passo 6
Análise do Crescimento e Decrescimento:
Vamos analisar o sinal da primeira derivada
:
-
Para
: Escolha :
→ Cresce -
Para
: Escolha :
→ Decresce -
Para
: Escolha :
→ Decresce -
Para
: Escolha :
→ Cresce
Conclusão:
- Cresce em
e - Decresce em
e
Passo 7
Determinação dos Pontos Extremos:
Sabemos que
e
são candidatos a extremos.
-
Em
, a função muda de crescente para decrescente → Máximo Local -
Em
, a função muda de decrescente para crescente → Mínimo Local
Vamos encontrar os valores correspondentes:
Pontos Extremos:
- Máximo Local em
- Mínimo Local em
Passo 8
Segunda Derivada para Pontos de Inflexão e Concavidade:
Calculamos a segunda derivada para determinar a concavidade e possíveis pontos de inflexão.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Para encontrar pontos de inflexão, igualamos
a zero, mas observamos que
nunca ocorre. Portanto, não há pontos de inflexão.
Concavidade:
- Quando
→ Concava para cima - Quando
→ Concava para baixo
Analisando:
-
Para
:
→ denominador negativo (pois ) e ímpar, então → Concava para baixo -
Para
:
→ denominador positivo, então → Concava para cima
Passo 9
Resumo das Informações Obtidas:
- Domínio:
- Assíntotas:
- Vertical:
- Oblíqua:
- Vertical:
- Crescimento:
- Cresce em
e
- Cresce em
- Decrescimento:
- Decresce em
e
- Decresce em
- Pontos Extremos:
- Máximo Local em
- Mínimo Local em
- Máximo Local em
- Concavidade:
- Concava para baixo em
- Concava para cima em
- Concava para baixo em
- Pontos de Inflexão: Nenhum
Resposta
A função
tem domínio
, assíntota vertical em
e assíntota oblíqua em
. Ela cresce nos intervalos
e
, e decresce em
e
. Possui um máximo local em
e um mínimo local em
. A concavidade é para baixo em
e para cima em
, sem pontos de inflexão. O gráfico da função reflete todos esses comportamentos.
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