Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função . Vamos precisar usar conceitos de cálculo como domínio da função, assíntotas, derivadas para encontrar pontos extremos e de inflexão, e comportamento da função em termos de crescimento e concavidade. Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Domínio da função: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso de , a divisão por zero não é permitida. Então, precisamos encontrar os valores de que fazem o denominador ser zero.
Resolvendo , temos . Portanto, o domínio de é todos os reais exceto .
Domínio:

Passo 3

Assíntotas Verticais: Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende ao infinito, geralmente onde o denominador é zero e o numerador não é zero ao mesmo ponto.
Já vimos que faz o denominador zero. Vamos verificar o numerador nesse ponto:
Como o numerador não é zero, há uma assíntota vertical em .
Assíntota Vertical:

Passo 4

Assíntotas Horizontais ou Oblíquas: Para encontrar assíntotas horizontais ou inclinadas, analisamos o comportamento da função quando tende ao infinito positivo ou negativo.
Podemos fazer a divisão polinomial de por :
À medida que tende ao infinito, o termo tende a zero. Portanto, a função se aproxima de , que é uma assíntota oblíqua.
Assíntota Oblíqua:

Passo 5

Derivadas para Pontos Extremos e de Inflexão:
Para encontrar pontos extremos (máximos e mínimos) e pontos de inflexão, precisamos calcular as derivadas da função.
Primeiro, vamos simplificar a função usando a divisão polinomial:
Agora, calculamos a primeira derivada para encontrar onde a função tem crescimento ou decrescimento e possíveis extremos.
Para encontrar os pontos extremos, igualamos a zero:
Então, e
Agora, vamos verificar se são máximos ou mínimos usando a segunda derivada ou analisando o sinal da primeira derivada.

Passo 6

Análise do Crescimento e Decrescimento:
Vamos analisar o sinal da primeira derivada :
  • Para : Escolha :
    → Cresce
  • Para : Escolha :
    → Decresce
  • Para : Escolha :
    → Decresce
  • Para : Escolha :
    → Cresce
Conclusão:
  • Cresce em e
  • Decresce em e

Passo 7

Determinação dos Pontos Extremos:
Sabemos que e são candidatos a extremos.
  • Em , a função muda de crescente para decrescente → Máximo Local
  • Em , a função muda de decrescente para crescente → Mínimo Local
Vamos encontrar os valores correspondentes:
Pontos Extremos:
  • Máximo Local em
  • Mínimo Local em

Passo 8

Segunda Derivada para Pontos de Inflexão e Concavidade:
Calculamos a segunda derivada para determinar a concavidade e possíveis pontos de inflexão.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Para encontrar pontos de inflexão, igualamos a zero, mas observamos que nunca ocorre. Portanto, não há pontos de inflexão.
Concavidade:
  • Quando → Concava para cima
  • Quando → Concava para baixo
Analisando:
  • Para :
    → denominador negativo (pois ) e ímpar, então → Concava para baixo
  • Para :
    → denominador positivo, então → Concava para cima

Passo 9

Resumo das Informações Obtidas:
  • Domínio:
  • Assíntotas:
    • Vertical:
    • Oblíqua:
  • Crescimento:
    • Cresce em e
  • Decrescimento:
    • Decresce em e
  • Pontos Extremos:
    • Máximo Local em
    • Mínimo Local em
  • Concavidade:
    • Concava para baixo em
    • Concava para cima em
  • Pontos de Inflexão: Nenhum

Resposta

A função tem domínio , assíntota vertical em e assíntota oblíqua em . Ela cresce nos intervalos e , e decresce em e . Possui um máximo local em e um mínimo local em . A concavidade é para baixo em e para cima em , sem pontos de inflexão. O gráfico da função reflete todos esses comportamentos.

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