Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar várias características da função . Para isso, vamos ver o domínio, assíntotas, pontos extremos, de inflexão, onde ela cresce ou decresce, concavidades e, por fim, desenhar o gráfico. Vamos precisar de conhecimentos de funções quadráticas, derivadas e análise de gráficos.

Passo 2

Domínio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como é um polinômio, ele está definido para todo número real. Então:
í

Passo 3

Assíntotas: Assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca. Para funções polinomiais, como essa, não existem assíntotas horizontais, verticais ou inclinadas porque o gráfico continua se estendendo para sem se aproximar de nenhuma linha específica.

Passo 4

Pontos Extremos: Pontos extremos são onde a função atinge um máximo ou mínimo. Para encontrá-los, vamos calcular a derivada primeira e igualar a zero:
Igualando a zero:
Agora, substituímos na função original para encontrar o valor de :
Então, o ponto extremo é . Como o coeficiente de é positivo, esse ponto é um mínimo.

Passo 5

Pontos de Inflexão: Pontos de inflexão são onde a concavidade do gráfico muda. Para encontrá-los, calculamos a segunda derivada:
Como a segunda derivada é constante e diferente de zero, não há pontos de inflexão nessa função.

Passo 6

Regiões de Crescimento e Decrescimento:
  • Crescimento: Onde a derivada primeira é positiva.
  • Decrescimento: Onde a derivada primeira é negativa.
Já encontramos . Vamos analisar:

Passo 7

Concavidade:
  • Concava para cima: Quando a segunda derivada é positiva.
  • Concava para baixo: Quando a segunda derivada é negativa.
Como , a função é côncava para cima em todo o domínio.

Passo 8

Gráfico da Função: Sabemos que é uma parábola com concavidade para cima, com vértice no ponto . Ela decresce antes desse ponto e cresce depois. Não há assíntotas e não há pontos de inflexão.

Resposta

O domínio da função é todos os números reais. Ela não possui assíntotas horizontais, verticais ou inclinadas. Possui um ponto mínimo em . A função é decrescente para e crescente para . É côncava para cima em todo o domínio e não tem pontos de inflexão. O gráfico é uma parábola com concavidade para cima, vértice em .

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