Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais
inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar várias características da função
. Para isso, vamos ver o domínio, assíntotas, pontos extremos, de inflexão, onde ela cresce ou decresce, concavidades e, por fim, desenhar o gráfico. Vamos precisar de conhecimentos de funções quadráticas, derivadas e análise de gráficos.
Passo 2
Domínio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como
é um polinômio, ele está definido para todo número real. Então:
Passo 3
Assíntotas: Assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca. Para funções polinomiais, como essa, não existem assíntotas horizontais, verticais ou inclinadas porque o gráfico continua se estendendo para
sem se aproximar de nenhuma linha específica.
Passo 4
Pontos Extremos: Pontos extremos são onde a função atinge um máximo ou mínimo. Para encontrá-los, vamos calcular a derivada primeira e igualar a zero:
Igualando a zero:
Agora, substituímos
na função original para encontrar o valor de
:
Então, o ponto extremo é
. Como o coeficiente de
é positivo, esse ponto é um mínimo.
Passo 5
Pontos de Inflexão: Pontos de inflexão são onde a concavidade do gráfico muda. Para encontrá-los, calculamos a segunda derivada:
Como a segunda derivada é constante e diferente de zero, não há pontos de inflexão nessa função.
Passo 6
Regiões de Crescimento e Decrescimento:
- Crescimento: Onde a derivada primeira é positiva.
- Decrescimento: Onde a derivada primeira é negativa.
Já encontramos
. Vamos analisar:
Passo 7
Concavidade:
- Concava para cima: Quando a segunda derivada é positiva.
- Concava para baixo: Quando a segunda derivada é negativa.
Como
, a função é côncava para cima em todo o domínio.
Passo 8
Gráfico da Função: Sabemos que é uma parábola com concavidade para cima, com vértice no ponto
. Ela decresce antes desse ponto e cresce depois. Não há assíntotas e não há pontos de inflexão.
Resposta
O domínio da função é todos os números reais. Ela não possui assíntotas horizontais, verticais ou inclinadas. Possui um ponto mínimo em
. A função é decrescente para
e crescente para
. É côncava para cima em todo o domínio e não tem pontos de inflexão. O gráfico é uma parábola com concavidade para cima, vértice em
.
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