Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais
inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza! Vamos analisar a função
. Nosso objetivo é descobrir o domínio, assíntotas, pontos extremos e de inflexão, regiões de crescimento e decrescimento, concavidades e, por fim, fazer o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra e cálculo, como derivadas para encontrar extremos e concavidades.
Passo 2
Dominio: Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como essa é um polinômio, ele está definido para todos os números reais. Então,
Passo 3
Assíntotas Horizontais e Verticais: Assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca. Para funções polinomiais de grau maior que 1, geralmente não há assíntotas horizontais ou verticais.
- Horizontais: Como o grau do numerador (3) é maior que o de qualquer denominador (não há denominador aqui além de 1), não há assíntotas horizontais.
- Verticais: Não há denominador que possa ser zero, então não há assíntotas verticais.
- Inclinadas: Também não há, pois a função é um polinômio de grau 3 e não possui comportamento de assíntota inclinada.
Passo 4
Pontos Extremos: Para encontrar os pontos máximos e mínimos (extremos), precisamos calcular a primeira derivada e ver onde ela é zero ou não existe.
Primeira derivada de
:
Agora, resolvemos
:
Dividindo todos os termos por -6 para simplificar:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então,
Portanto, os pontos extremos estão em
e
.
Passo 5
Regiões de Crescimento e Decrescimento: Analisamos o sinal da primeira derivada.
-
Para
: Escolha : (Negativo) → Decrescente -
Para
: Escolha : (Positivo) → Crescente -
Para
: Escolha : (Negativo) → Decrescente
Passo 6
Pontos de Inflação e Concavidades: Para encontrar os pontos de inflexão e concavidades, calculamos a segunda derivada.
Segunda derivada de
:
Encontramos onde
:
Então, há um ponto de inflexão em
.
Analisando o sinal da segunda derivada:
-
Para
: Escolha : (Positivo) → Concavidade para cima -
Para
: Escolha : (Negativo) → Concavidade para baixo
Passo 7
Gráfico da Função: Com todas as informações:
- Domínio: Todos os reais
- Assíntotas: Nenhuma
- Pontos Extremos: Máximo em
, mínimo em - Crescimento: Cresce entre
e - Decrescimento: Decresce para
e - Concavidades: Curva para cima até
e para baixo após - Ponto de Inflação:
Com esses pontos, você consegue esboçar o gráfico da função, vendo que ela começa decrescendo, atinge um máximo, cresce até o mínimo e depois decresce novamente, mudando a concavidade no ponto de inflexão.
Resposta
O domínio da função é todos os números reais. Não há assíntotas horizontais, verticais ou inclinadas. A função possui um máximo em
e um mínimo em
. Há um ponto de inflexão em
. A função cresce no intervalo
e decresce em
e
. As concavidades são para cima em
e para baixo em
. Com essas características, o gráfico da função pode ser desenhado conforme descrito.
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