Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Beleza! Vamos analisar a função . Nosso objetivo é descobrir o domínio, assíntotas, pontos extremos e de inflexão, regiões de crescimento e decrescimento, concavidades e, por fim, fazer o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra e cálculo, como derivadas para encontrar extremos e concavidades.

Passo 2

Dominio: Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como essa é um polinômio, ele está definido para todos os números reais. Então,
í

Passo 3

Assíntotas Horizontais e Verticais: Assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca. Para funções polinomiais de grau maior que 1, geralmente não há assíntotas horizontais ou verticais.
  • Horizontais: Como o grau do numerador (3) é maior que o de qualquer denominador (não há denominador aqui além de 1), não há assíntotas horizontais.
  • Verticais: Não há denominador que possa ser zero, então não há assíntotas verticais.
  • Inclinadas: Também não há, pois a função é um polinômio de grau 3 e não possui comportamento de assíntota inclinada.

Passo 4

Pontos Extremos: Para encontrar os pontos máximos e mínimos (extremos), precisamos calcular a primeira derivada e ver onde ela é zero ou não existe.
Primeira derivada de :
Agora, resolvemos :
Dividindo todos os termos por -6 para simplificar:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então,
Portanto, os pontos extremos estão em e .

Passo 5

Regiões de Crescimento e Decrescimento: Analisamos o sinal da primeira derivada.
  • Para : Escolha :
    (Negativo) → Decrescente
  • Para : Escolha :
    (Positivo) → Crescente
  • Para : Escolha :
    (Negativo) → Decrescente

Passo 6

Pontos de Inflação e Concavidades: Para encontrar os pontos de inflexão e concavidades, calculamos a segunda derivada.
Segunda derivada de :
Encontramos onde :
Então, há um ponto de inflexão em .
Analisando o sinal da segunda derivada:
  • Para : Escolha :
    (Positivo) → Concavidade para cima
  • Para : Escolha :
    (Negativo) → Concavidade para baixo

Passo 7

Gráfico da Função: Com todas as informações:
  • Domínio: Todos os reais
  • Assíntotas: Nenhuma
  • Pontos Extremos: Máximo em , mínimo em
  • Crescimento: Cresce entre e
  • Decrescimento: Decresce para e
  • Concavidades: Curva para cima até e para baixo após
  • Ponto de Inflação:
Com esses pontos, você consegue esboçar o gráfico da função, vendo que ela começa decrescendo, atinge um máximo, cresce até o mínimo e depois decresce novamente, mudando a concavidade no ponto de inflexão.

Resposta

O domínio da função é todos os números reais. Não há assíntotas horizontais, verticais ou inclinadas. A função possui um máximo em e um mínimo em . Há um ponto de inflexão em . A função cresce no intervalo e decresce em e . As concavidades são para cima em e para baixo em . Com essas características, o gráfico da função pode ser desenhado conforme descrito.

Exercícios relacionados

Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:
Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:
Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:
Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções: