Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos a função definida no intervalo . O que precisamos fazer é descobrir várias características dessa função, como domínio, assíntotas, pontos extremos, inflexão, regiões onde a função está crescendo ou decrescendo, concavidades e, por fim, desenhar o gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Dominio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso da função , a função cosseno está definida para todos os números reais. Porém, como foi especificado, estamos considerando apenas o intervalo . Portanto, o domínio é:

Passo 3

Assíntotas da função
Assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca. Existem três tipos principais: horizontais, verticais e inclinadas.
  • Assíntotas Horizontais: São linhas paralelas ao eixo . Para a função cosseno, que oscila entre -1 e 1, não há assíntotas horizontais porque a função nunca se aproxima de uma linha específica conforme vai para mais ou menos infinito.
  • Assíntotas Verticais: São linhas paralelas ao eixo onde a função não está definida. Como está definida para todo , não existem assíntotas verticais.
  • Assíntotas Inclinadas: São linhas que não são nem horizontais nem verticais. Novamente, para a função cosseno, que é periódica e não tem comportamento linear em suas extremidades, não há assíntotas inclinadas.
Portanto, a função não possui assíntotas.

Passo 4

Pontos Extremos (Máximos e Mínimos)
Pontos extremos são onde a função atinge valores máximos ou mínimos locais. Para encontrar esses pontos, precisamos calcular a derivada primeira da função e encontrar onde ela é igual a zero ou não existe.
Primeiro, calculamos a derivada de :
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar candidatos a extremos:
Sabemos que quando . No nosso intervalo , isso ocorre quando:
Então, temos um ponto crítico em . Para determinar se é máximo ou mínimo, podemos usar a derivada segunda.
Calculamos a derivada segunda:
Avaliar em :
Como , temos um ponto de máximo em .

Passo 5

Pontos de Inflexão
Pontos de inflexão são onde a concavidade da função muda. Para encontrar esses pontos, analisamos onde a derivada segunda muda de sinal.
Já temos a derivada segunda:
Vamos encontrar onde :
Sabemos que quando . No nosso intervalo :
Portanto, os pontos de inflexão estão nos extremos do intervalo, e .

Passo 6

Regiões de Crescimento e Decrescimento
Para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, olhamos para o sinal da derivada primeira :
  • Crescimento: Quando
  • Decrescimento: Quando
Dentro do intervalo :
  • Para :
    , então
    (positivo)
    Portanto, a função está crescendo.
  • Para :
    , então
    (negativo)
    Portanto, a função está decrescendo.
No ponto , ocorre o ponto de máximo.

Passo 7

Concavidades da Função
A concavidade da função é determinada pelo sinal da derivada segunda :
  • Concava para Cima: Quando
  • Concava para Baixo: Quando
Dentro do intervalo :
  • Para :
    , então
    Portanto, a função é concava para baixo nesse intervalo.
Nos pontos , a concavidade muda, caracterizando os pontos de inflexão.

Passo 8

Gráfico da Função
Com todas as informações obtidas, podemos desenhar o gráfico da função no intervalo :
  • Domínio:
  • Máximo: Em ,
  • Pontos de Inflexão: Em ,
  • Crescimento: De até
  • Decrescimento: De até
  • Concavidade: Concava para baixo em todo o intervalo
O gráfico será uma parte da curva do cosseno, começando em , atingindo o máximo em e descendo novamente para , com concavidade para baixo.

Resposta

A função no intervalo possui:
  • Domínio:
  • Assíntotas: Não possui assíntotas horizontais, verticais ou inclinadas
  • Ponto Extremo: Máximo em com
  • Pontos de Inflexão: Em
  • Regiões de Crescimento: De até
  • Regiões de Decrescimento: De até
  • Concavidade: Concava para baixo em todo o intervalo
O gráfico apresenta uma curva cosseno invertida, alcançando seu ponto máximo no centro do intervalo e interceptando o eixo nos extremos.

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