Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais
inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos a função
definida no intervalo
. O que precisamos fazer é descobrir várias características dessa função, como domínio, assíntotas, pontos extremos, inflexão, regiões onde a função está crescendo ou decrescendo, concavidades e, por fim, desenhar o gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Dominio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso da função
, a função cosseno está definida para todos os números reais. Porém, como foi especificado, estamos considerando apenas o intervalo
. Portanto, o domínio é:
Passo 3
Assíntotas da função
Assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca. Existem três tipos principais: horizontais, verticais e inclinadas.
-
Assíntotas Horizontais: São linhas paralelas ao eixo
. Para a função cosseno, que oscila entre -1 e 1, não há assíntotas horizontais porque a função nunca se aproxima de uma linha específica conforme vai para mais ou menos infinito. -
Assíntotas Verticais: São linhas paralelas ao eixo
onde a função não está definida. Como está definida para todo , não existem assíntotas verticais. -
Assíntotas Inclinadas: São linhas que não são nem horizontais nem verticais. Novamente, para a função cosseno, que é periódica e não tem comportamento linear em suas extremidades, não há assíntotas inclinadas.
Portanto, a função
não possui assíntotas.
Passo 4
Pontos Extremos (Máximos e Mínimos)
Pontos extremos são onde a função atinge valores máximos ou mínimos locais. Para encontrar esses pontos, precisamos calcular a derivada primeira da função e encontrar onde ela é igual a zero ou não existe.
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar candidatos a extremos:
Sabemos que
quando
. No nosso intervalo
, isso ocorre quando:
Então, temos um ponto crítico em
. Para determinar se é máximo ou mínimo, podemos usar a derivada segunda.
Calculamos a derivada segunda:
Avaliar em
:
Como
, temos um ponto de máximo em
.
Passo 5
Pontos de Inflexão
Pontos de inflexão são onde a concavidade da função muda. Para encontrar esses pontos, analisamos onde a derivada segunda muda de sinal.
Já temos a derivada segunda:
Vamos encontrar onde
:
Sabemos que
quando
. No nosso intervalo
:
Portanto, os pontos de inflexão estão nos extremos do intervalo,
e
.
Passo 6
Regiões de Crescimento e Decrescimento
Para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, olhamos para o sinal da derivada primeira
:
- Crescimento: Quando
- Decrescimento: Quando
Dentro do intervalo
:
-
Para
: , então (positivo) Portanto, a função está crescendo. -
Para
: , então (negativo) Portanto, a função está decrescendo.
No ponto
, ocorre o ponto de máximo.
Passo 7
Concavidades da Função
A concavidade da função é determinada pelo sinal da derivada segunda
:
- Concava para Cima: Quando
- Concava para Baixo: Quando
Dentro do intervalo
:
-
Para
: , então Portanto, a função é concava para baixo nesse intervalo.
Nos pontos
, a concavidade muda, caracterizando os pontos de inflexão.
Passo 8
Gráfico da Função
Com todas as informações obtidas, podemos desenhar o gráfico da função
no intervalo
:
- Domínio:
- Máximo: Em
, - Pontos de Inflexão: Em
, - Crescimento: De
até - Decrescimento: De
até - Concavidade: Concava para baixo em todo o intervalo
O gráfico será uma parte da curva do cosseno, começando em
, atingindo o máximo em
e descendo novamente para
, com concavidade para baixo.
Resposta
A função
no intervalo
possui:
- Domínio:
- Assíntotas: Não possui assíntotas horizontais, verticais ou inclinadas
- Ponto Extremo: Máximo em
com - Pontos de Inflexão: Em
- Regiões de Crescimento: De
até - Regiões de Decrescimento: De
até - Concavidade: Concava para baixo em todo o intervalo
O gráfico apresenta uma curva cosseno invertida, alcançando seu ponto máximo no centro do intervalo e interceptando o eixo
nos extremos.
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