Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais
inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa função
. O que a gente vai fazer aqui envolve alguns tópicos de cálculo como domínio, assíntotas, derivadas para encontrar extremos e pontos de inflexão, além de analisar onde a função cresce ou decresce e a concavidade dela. Vamos passo a passo para entender tudo direitinho!
Passo 2
Domínio da Função
O domínio de uma função são todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando para
, não temos nenhuma divisão por zero ou radicais que restrinjam o domínio. Portanto, a função está definida para todos os números reais.
Domínio:
Passo 3
Assíntotas Horizontais, Verticais e Oblíquas
-
Assíntotas Verticais: São valores de
que fazem a função não estar definida, mas nosso domínio é todo real, então não há assíntotas verticais. -
Assíntotas Horizontais: Verificamos o limite de
quando tende a e .
A função é um polinômio de grau 4 (pois
), então o limite tende a
quando
vai para
e para
quando
vai para
. Não há assíntotas horizontais.
- Assíntotas Oblíquas: Também não existem, já que assíntotas oblíquas ocorrem geralmente em funções racionais onde o grau do numerador é exatamente um a mais que o denominador, o que não é o caso aqui.
Resumo das Assíntotas:
- Nenhuma assíntota vertical, horizontal ou oblíqua.
Passo 4
Pontos Extremos (Máximos e Mínimos)
Para encontrar os pontos extremos, vamos derivar a função e ver onde a derivada é zero ou não existe.
Primeiro, derivamos
:
Usando a regra do produto:
Agora, igualamos a derivada a zero:
Isso dá as soluções:
-
→ (raiz dupla) -
→
Então, temos possíveis extremos em
e
.
Para saber se são máximos ou mínimos, analisamos o sinal da derivada em torno desses pontos.
-
Em
: Como a derivada toca zero e não muda de sinal, não é um ponto de máximo ou mínimo, é apenas um ponto de inflexão. -
Em
: A derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
Ponto de Mínimo:
Passo 5
Pontos de Inflexão
Pontos de inflexão são onde a concavidade da função muda. Para encontrar, derivamos a segunda vez:
Primeira derivada:
Derivando novamente:
Usamos a regra do produto:
Usamos a regra do produto:
Simplificando:
Agrupando termos:
Agora, igualamos a segunda derivada a zero:
Isso dá as soluções:
-
→ -
→
Assim, temos possíveis pontos de inflexão em
e
.
Teste da Concavidade:
- Em
: A concavidade muda de positiva para negativa ou vice-versa. - Em
: A concavidade também muda.
Portanto, ambos são pontos de inflexão.
Passo 6
Regiões de Crescimento e Decrescimento
Analisamos a derivada primeira
.
-
Para
: -
é positivo. -
é negativo. - Derivada negativa → função está decrescendo.
-
-
Para
: -
é positivo. -
é negativo. - Derivada negativa → função está decrescendo.
-
-
Para
: -
é positivo. -
é positivo. - Derivada positiva → função está crescendo.
-
Conclusão:
- Decresce em
- Cresce em
Concavidade:
Analisamos a segunda derivada
.
-
Para
: -
e são negativos. -
positivo → concava para cima.
-
-
Para
: -
positivo e negativo. -
negativo → concava para baixo.
-
-
Para
: - Ambos positivos.
-
positivo → concava para cima.
Resposta
- Domínio:
- Assíntotas: Nenhuma
- Ponto de Mínimo:
- Pontos de Inflexão:
e - Regiões de Crescimento:
- Regiões de Decrescimento:
- Concavidade:
- Concava para cima em
e - Concava para baixo em
- Concava para cima em
O gráfico da função apresenta uma curva com um mínimo em
, pontos de inflexão em
e
, e comporta-se conforme as regiões de crescimento e concavidade descritas acima.
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