Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa função . O que a gente vai fazer aqui envolve alguns tópicos de cálculo como domínio, assíntotas, derivadas para encontrar extremos e pontos de inflexão, além de analisar onde a função cresce ou decresce e a concavidade dela. Vamos passo a passo para entender tudo direitinho!

Passo 2

Domínio da Função
O domínio de uma função são todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para , não temos nenhuma divisão por zero ou radicais que restrinjam o domínio. Portanto, a função está definida para todos os números reais.
Domínio:
(todos os números reais)

Passo 3

Assíntotas Horizontais, Verticais e Oblíquas
  • Assíntotas Verticais: São valores de que fazem a função não estar definida, mas nosso domínio é todo real, então não há assíntotas verticais.
  • Assíntotas Horizontais: Verificamos o limite de quando tende a e .
A função é um polinômio de grau 4 (pois ), então o limite tende a quando vai para e para quando vai para . Não há assíntotas horizontais.
  • Assíntotas Oblíquas: Também não existem, já que assíntotas oblíquas ocorrem geralmente em funções racionais onde o grau do numerador é exatamente um a mais que o denominador, o que não é o caso aqui.
Resumo das Assíntotas:
  • Nenhuma assíntota vertical, horizontal ou oblíqua.

Passo 4

Pontos Extremos (Máximos e Mínimos)
Para encontrar os pontos extremos, vamos derivar a função e ver onde a derivada é zero ou não existe.
Primeiro, derivamos :
Usando a regra do produto:
Agora, igualamos a derivada a zero:
Isso dá as soluções:
  1. (raiz dupla)
Então, temos possíveis extremos em e .
Para saber se são máximos ou mínimos, analisamos o sinal da derivada em torno desses pontos.
  • Em : Como a derivada toca zero e não muda de sinal, não é um ponto de máximo ou mínimo, é apenas um ponto de inflexão.
  • Em : A derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
Ponto de Mínimo:

Passo 5

Pontos de Inflexão
Pontos de inflexão são onde a concavidade da função muda. Para encontrar, derivamos a segunda vez:
Primeira derivada:
Derivando novamente:
Usamos a regra do produto:
Simplificando:
Agrupando termos:
Agora, igualamos a segunda derivada a zero:
Isso dá as soluções:
Assim, temos possíveis pontos de inflexão em e .
Teste da Concavidade:
  • Em : A concavidade muda de positiva para negativa ou vice-versa.
  • Em : A concavidade também muda.
Portanto, ambos são pontos de inflexão.

Passo 6

Regiões de Crescimento e Decrescimento
Analisamos a derivada primeira .
  • Para :
    • é positivo.
    • é negativo.
    • Derivada negativa → função está decrescendo.
  • Para :
    • é positivo.
    • é negativo.
    • Derivada negativa → função está decrescendo.
  • Para :
    • é positivo.
    • é positivo.
    • Derivada positiva → função está crescendo.
Conclusão:
  • Decresce em
  • Cresce em
Concavidade:
Analisamos a segunda derivada .
  • Para :
    • e são negativos.
    • positivo → concava para cima.
  • Para :
    • positivo e negativo.
    • negativo → concava para baixo.
  • Para :
    • Ambos positivos.
    • positivo → concava para cima.

Resposta

  • Domínio:
  • Assíntotas: Nenhuma
  • Ponto de Mínimo:
  • Pontos de Inflexão: e
  • Regiões de Crescimento:
  • Regiões de Decrescimento:
  • Concavidade:
    • Concava para cima em e
    • Concava para baixo em
O gráfico da função apresenta uma curva com um mínimo em , pontos de inflexão em e , e comporta-se conforme as regiões de crescimento e concavidade descritas acima.

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