Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que fala sobre a função no intervalo .
Conteúdo envolvido:
  • Domínio da função: Onde a função está definida.
  • Assíntotas: Linhas que a função se aproxima mas nunca toca.
  • Pontos extremos: Máximos e mínimos locais.
  • Pontos de inflexão: Onde a concavidade da função muda.
  • Crescimento e decrescimento: Onde a função está aumentando ou diminuindo.
  • Concavidade: Forma da curva (côncava para cima ou para baixo).
  • Gráfico da função: Representação visual de tudo isso.
Vamos precisar de cálculos de derivadas para encontrar os pontos críticos e de inflexão, além de entender o comportamento da função.

Passo 2

Domínio da função:
O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
  • Função : Tanto o termo quanto estão definidos para todos os números reais.
Logo, o domínio de é:
í
Mas como estamos trabalhando no intervalo , consideramos:
í

Passo 3

Assíntotas:
Assíntotas são linhas que a função se aproxima quando vai para infinito ou pontos onde a função tende ao infinito.
  • Assíntotas verticais: Ocorrem onde a função não está definida, mas como nossa função está definida para todo , não há assíntotas verticais.
  • Assíntotas horizontais: Ocorrem se a função tende para um valor constante quando tende ao infinito ou menos infinito.
    Não há assíntotas horizontais.
  • Assíntotas inclinadas: Ocorrem se a função tende a uma linha do tipo quando vai para infinito ou menos infinito.
    Observando , o termo dominante quando vai para infinito é , então a assíntota inclinada é:
Então, a assíntota inclinada de é:

Passo 4

Pontos Extremos (Máximos e Mínimos Locais):
Para encontrar os pontos máximos e mínimos, calculamos a primeira derivada e analisamos onde ela é zero ou não existe.
  • Primeira derivada de :
  • Encontrar onde :
    Solução dentro de :
    Mas dentro do intervalo , temos:
    Contudo, está fora do intervalo, então consideramos:
  • Determinar se são máximos ou mínimos:
    Usamos a segunda derivada ou a análise do sinal da primeira derivada.

Passo 5

Pontos de Inflação:
Para encontrar os pontos de inflexão, calculamos a segunda derivada e analisamos onde ela é zero ou não existe, indicando uma mudança na concavidade.
  • Segunda derivada de :
  • Encontrar onde :
    Soluções dentro de :
Então, os pontos de inflexão são em:

Passo 6

Regiões de Crescimento e Decrescimento:
Analisamos o sinal da primeira derivada para determinar onde a função está aumentando ou diminuindo.
  • Primeira derivada:
  • Analisando o sinal:
    [ g’(x) < 0 ) quando (o que nunca acontece, já que )
    Então, a função está sempre crescendo, exceto nos pontos onde , ou seja, nos pontos críticos.
Logo, nas regiões entre os pontos críticos, a função está:
  • Crescendo em todo o intervalo , exceto nos pontos onde a derivada é zero.

Passo 7

Concavidades:
Usamos a segunda derivada para determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo.
  • Segunda derivada:
  • Analisando o sinal:
Então:
  • A função é côncava para cima onde ( e )
  • Côncava para baixo onde ( e , mas dentro do nosso intervalo consideramos até )

Resposta

Resumo das características da função no intervalo :
  • Domínio:
  • Assíntota inclinada:
  • Pontos Extremos:
    • Máximo local em
    • Mínimo local em
  • Pontos de Inflação:
  • Regiões de Crescimento: Em todo o intervalo , exceto nos pontos críticos onde a derivada é zero.
  • Concavidade:
    • Côncava para cima em e
    • Côncava para baixo em e
O gráfico apresenta uma linha crescente com pequenas oscilações devido ao termo , seguindo a assíntota inclinada .

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Determinar as derivadas das funções a seguir: