Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais
inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que fala sobre a função
no intervalo
.
Conteúdo envolvido:
- Domínio da função: Onde a função está definida.
- Assíntotas: Linhas que a função se aproxima mas nunca toca.
- Pontos extremos: Máximos e mínimos locais.
- Pontos de inflexão: Onde a concavidade da função muda.
- Crescimento e decrescimento: Onde a função está aumentando ou diminuindo.
- Concavidade: Forma da curva (côncava para cima ou para baixo).
- Gráfico da função: Representação visual de tudo isso.
Vamos precisar de cálculos de derivadas para encontrar os pontos críticos e de inflexão, além de entender o comportamento da função.
Passo 2
Domínio da função:
O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
- Função
: Tanto o termo quanto estão definidos para todos os números reais.
Logo, o domínio de
é:
Mas como estamos trabalhando no intervalo
, consideramos:
Passo 3
Assíntotas:
Assíntotas são linhas que a função se aproxima quando
vai para infinito ou pontos onde a função tende ao infinito.
-
Assíntotas verticais: Ocorrem onde a função não está definida, mas como nossa função está definida para todo
, não há assíntotas verticais. -
Assíntotas horizontais: Ocorrem se a função tende para um valor constante quando
tende ao infinito ou menos infinito. Não há assíntotas horizontais. -
Assíntotas inclinadas: Ocorrem se a função tende a uma linha do tipo
quando vai para infinito ou menos infinito. Observando, o termo dominante quando vai para infinito é , então a assíntota inclinada é:
Então, a assíntota inclinada de
é:
Passo 4
Pontos Extremos (Máximos e Mínimos Locais):
Para encontrar os pontos máximos e mínimos, calculamos a primeira derivada e analisamos onde ela é zero ou não existe.
-
Primeira derivada de
: -
Encontrar onde
: Solução dentro de: Mas dentro do intervalo, temos: Contudo,está fora do intervalo, então consideramos: -
Determinar se são máximos ou mínimos:
Usamos a segunda derivada ou a análise do sinal da primeira derivada.
Passo 5
Pontos de Inflação:
Para encontrar os pontos de inflexão, calculamos a segunda derivada e analisamos onde ela é zero ou não existe, indicando uma mudança na concavidade.
-
Segunda derivada de
: -
Encontrar onde
: Soluções dentro de:
Então, os pontos de inflexão são em:
Passo 6
Regiões de Crescimento e Decrescimento:
Analisamos o sinal da primeira derivada
para determinar onde a função está aumentando ou diminuindo.
-
Primeira derivada:
-
Analisando o sinal:[ g’(x) < 0 ) quando
(o que nunca acontece, já que ) Então, a função está sempre crescendo, exceto nos pontos onde, ou seja, nos pontos críticos.
Logo, nas regiões entre os pontos críticos, a função está:
- Crescendo em todo o intervalo
, exceto nos pontos onde a derivada é zero.
Passo 7
Concavidades:
Usamos a segunda derivada
para determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo.
-
Segunda derivada:
-
Analisando o sinal:
Então:
- A função é côncava para cima onde
( e ) - Côncava para baixo onde
( e , mas dentro do nosso intervalo consideramos até )
Resposta
Resumo das características da função
no intervalo
:
- Domínio:
- Assíntota inclinada:
- Pontos Extremos:
- Máximo local em
- Mínimo local em
- Máximo local em
- Pontos de Inflação:
- Regiões de Crescimento: Em todo o intervalo
, exceto nos pontos críticos onde a derivada é zero. - Concavidade:
- Côncava para cima em
e - Côncava para baixo em
e
- Côncava para cima em
O gráfico apresenta uma linha crescente com pequenas oscilações devido ao termo
, seguindo a assíntota inclinada
.
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Determinar as derivadas das funções a seguir: