Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais
inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar várias características da função
. Isso envolve entender o domínio, assíntotas, pontos de extrema e inflexão, regiões onde a função está crescendo ou decrescendo, concavidades e, por fim, fazer o gráfico. Para tudo isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e análise de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função, ou seja, todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos raízes cúbicas (
) e raízes quadradas (
), precisamos garantir que não haja divisões por zero ou raízes de índices pares de números negativos (o que não é o caso aqui, já que as raízes cúbicas estão sempre definidas para números reais).
Portanto, o domínio de
é todos os números reais:
Passo 3
Assíntotas são retas que a função se aproxima, mas nunca toca. Vamos analisar cada tipo:
Assíntotas Horizontais:
Calculamos o limite de quando
tende a
e
:
Calculamos o limite de
Não há assíntotas horizontais.
Assíntotas Verticais:
Verificamos se há valores de que tornam o denominador zero ou causam indeterminação. Como a função está definida para todos os reais e não há denominador, não há assíntotas verticais.
Verificamos se há valores de
Assíntotas Inclinadas:
Buscamos linhas da forma que a função possa se aproximar. Calculamos:
Buscamos linhas da forma
Como o limite é zero, não há assíntotas inclinadas.
Passo 4
Para identificar os pontos de extrema (máximos e mínimos) e de inflexão, vamos calcular as derivadas primeira e segunda da função.
Derivada Primeira:
Simplificando:
Encontrar os pontos críticos:
Resolvemos :
Resolvemos
Isso ocorre quando
, ou seja,
.
Derivada Segunda:
Simplificando:
Ponto de Inflexão:
Resolvemos :
Resolvemos
Isso ocorre quando
, ou seja,
.
Passo 5
Usamos a derivada primeira para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
- Para
: -
⇒ Função crescente.
-
- Para
: -
⇒ Função decrescente.
-
Passo 6
Usamos a derivada segunda para determinar a concavidade da função.
- Para
: -
⇒ Concavidade para cima.
-
- Para
: -
⇒ Concavidade para baixo.
-
Passo 7
- Domínio:
- Assíntotas: Não há assíntotas horizontais, verticais ou inclinadas.
- Ponto de Extrema: Mínimo local em
. - Ponto de Inflexão: Em
. - Crescimento:
- Decrescimento:
- Concavidade: Para cima quando
, para baixo quando .
Resposta
Com base nas análises realizadas, o gráfico da função
apresenta um mínimo local em
, um ponto de inflexão em
, está crescendo para
e decrescendo para
. A concavidade é para cima quando
e para baixo quando
. Não há assíntotas horizontais, verticais ou inclinadas. O gráfico reflete essas características, mostrando essas mudanças de comportamento nos pontos identificados.
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Determinar as derivadas das funções a seguir:
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