Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar várias características da função . Isso envolve entender o domínio, assíntotas, pontos de extrema e inflexão, regiões onde a função está crescendo ou decrescendo, concavidades e, por fim, fazer o gráfico. Para tudo isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e análise de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função, ou seja, todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos raízes cúbicas ( ) e raízes quadradas ( ), precisamos garantir que não haja divisões por zero ou raízes de índices pares de números negativos (o que não é o caso aqui, já que as raízes cúbicas estão sempre definidas para números reais).
Portanto, o domínio de é todos os números reais:

Passo 3

Assíntotas são retas que a função se aproxima, mas nunca toca. Vamos analisar cada tipo:
Assíntotas Horizontais:
Calculamos o limite de quando tende a e :
Não há assíntotas horizontais.
Assíntotas Verticais:
Verificamos se há valores de que tornam o denominador zero ou causam indeterminação. Como a função está definida para todos os reais e não há denominador, não há assíntotas verticais.
Assíntotas Inclinadas:
Buscamos linhas da forma que a função possa se aproximar. Calculamos:
Como o limite é zero, não há assíntotas inclinadas.

Passo 4

Para identificar os pontos de extrema (máximos e mínimos) e de inflexão, vamos calcular as derivadas primeira e segunda da função.
Derivada Primeira:
Simplificando:
Encontrar os pontos críticos:
Resolvemos :
Isso ocorre quando , ou seja, .
Derivada Segunda:
Simplificando:
Ponto de Inflexão:
Resolvemos :
Isso ocorre quando , ou seja, .

Passo 5

Usamos a derivada primeira para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
  • Para :
    • ⇒ Função crescente.
  • Para :
    • ⇒ Função decrescente.

Passo 6

Usamos a derivada segunda para determinar a concavidade da função.
  • Para :
    • ⇒ Concavidade para cima.
  • Para :
    • ⇒ Concavidade para baixo.

Passo 7

  • Domínio:
  • Assíntotas: Não há assíntotas horizontais, verticais ou inclinadas.
  • Ponto de Extrema: Mínimo local em .
  • Ponto de Inflexão: Em .
  • Crescimento:
  • Decrescimento:
  • Concavidade: Para cima quando , para baixo quando .

Resposta

Com base nas análises realizadas, o gráfico da função apresenta um mínimo local em , um ponto de inflexão em , está crescendo para e decrescendo para . A concavidade é para cima quando e para baixo quando . Não há assíntotas horizontais, verticais ou inclinadas. O gráfico reflete essas características, mostrando essas mudanças de comportamento nos pontos identificados.

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Determinar as derivadas das funções a seguir:
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