Determine o domínio de :
©

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio da função . Aqui, estamos lidando com funções racionais e raízes quadradas. Para encontrar o domínio, precisamos garantir que o que está dentro da raiz seja não negativo e que o denominador não seja zero. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde o denominador é igual a zero, porque aí a função não está definida (não podemos dividir por zero). Para isso, resolvemos a equação:

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática , podemos fatorar:
Isso nos dá as raízes e . Portanto, e para que o denominador não seja zero.

Passo 4

Agora, vamos garantir que o que está dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero:
Isso significa que a fração deve ser positiva ou zero. Para analisar isso, vamos estudar os sinais do numerador e do denominador em diferentes intervalos de .

Passo 5

As raízes que encontramos anteriormente ( e ) dividem a reta numérica em intervalos. Além disso, o numerador é zero quando . Assim, os intervalos são:
Vamos analisar o sinal da fração em cada intervalo.

Passo 6

Intervalo 1:
  • Numerador: (negativo)
  • Denominador: (positivo, pois negativo vezes negativo dá positivo)
  • Fração: negativo / positivo = negativa → Não atende

Passo 7

Intervalo 2:
  • Numerador: (negativo)
  • Denominador: e → negativo (positivo vezes negativo dá negativo)
  • Fração: negativo / negativo = positivo → Atende

Passo 8

Intervalo 3:
  • Numerador: (negativo)
  • Denominador: e → positivo (positivo vezes positivo dá positivo)
  • Fração: negativo / positivo = negativa → Não atende

Passo 9

Intervalo 4:
  • Numerador: (positivo)
  • Denominador: e → positivo
  • Fração: positivo / positivo = positivo → Atende

Passo 10

Também precisamos verificar os pontos onde a fração é igual a zero ou não está definida:
  • Em : Numerador é zero, denominador é , que é válido.
  • Em e : Denominador é zero, então e são excluídos do domínio.

Resposta

Portanto, o domínio da função é:

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Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F) as seguintes sentenças, justificando cada uma:
(o)
Seja , determine
Determine o conjunto solução de:
© ;
Verifique que:
a) ;