Determine o domínio de :
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©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio da função
. Aqui, estamos lidando com funções racionais e raízes quadradas. Para encontrar o domínio, precisamos garantir que o que está dentro da raiz seja não negativo e que o denominador não seja zero. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde o denominador
é igual a zero, porque aí a função não está definida (não podemos dividir por zero). Para isso, resolvemos a equação:
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
, podemos fatorar:
Isso nos dá as raízes
e
. Portanto,
e
para que o denominador não seja zero.
Passo 4
Agora, vamos garantir que o que está dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero:
Isso significa que a fração deve ser positiva ou zero. Para analisar isso, vamos estudar os sinais do numerador
e do denominador
em diferentes intervalos de
.
Passo 5
As raízes que encontramos anteriormente (
e
) dividem a reta numérica em intervalos. Além disso, o numerador
é zero quando
. Assim, os intervalos são:
Vamos analisar o sinal da fração em cada intervalo.
Passo 6
Intervalo 1:
- Numerador:
(negativo) - Denominador:
(positivo, pois negativo vezes negativo dá positivo) - Fração: negativo / positivo = negativa → Não atende
Passo 7
Intervalo 2:
- Numerador:
(negativo) - Denominador:
e → negativo (positivo vezes negativo dá negativo) - Fração: negativo / negativo = positivo → Atende
Passo 8
Intervalo 3:
- Numerador:
(negativo) - Denominador:
e → positivo (positivo vezes positivo dá positivo) - Fração: negativo / positivo = negativa → Não atende
Passo 9
Intervalo 4:
- Numerador:
(positivo) - Denominador:
e → positivo - Fração: positivo / positivo = positivo → Atende
Passo 10
Também precisamos verificar os pontos onde a fração é igual a zero ou não está definida:
- Em
: Numerador é zero, denominador é → , que é válido. - Em
e : Denominador é zero, então e são excluídos do domínio.
Resposta
Portanto, o domínio da função
é:
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Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F) as seguintes sentenças, justificando cada uma:
(o)
(o)
Seja
, determine
Determine o conjunto solução de:
© ;
©
Verifique que:
a) ;
a)