Determine o domínio de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o domínio da função
. Aqui, estamos lidando com funções logarítmicas, então vamos precisar entender onde essa função está “valendo” ou, melhor dizendo, onde ela está definida.
Passo 2
Primeiro, lembra que o domínio de uma função são todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso do logaritmo natural
, o argumento
precisa ser positivo, ou seja,
. Então, para nossa função
, precisamos que:
Passo 3
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de
que fazem a expressão ser positiva. Primeiro, é mais fácil trabalhar com a expressão sem o sinal negativo. Multiplicamos ambos os lados da desigualdade por -1, lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade:
Passo 4
Agora, vamos resolver a inequação quadrática
. Para isso, primeiro encontramos as raízes da equação quadrática
. Podemos fatorar essa equação:
As soluções são
e
.
Passo 5
Com as raízes encontradas, sabemos que a parábola
corta o eixo
nesses pontos. Como o coeficiente de
é positivo, a parábola está voltada para cima. Portanto, ela será negativa entre as raízes
e
.
Passo 6
Assim, a desigualdade
é verdadeira para valores de
que estão entre 1 e 3. Ou seja:
Resposta
O domínio da função
é o intervalo aberto: