Determine o domínio de cada uma das funções abaixo.
f(x) = ln(-x^2 + 4x - 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o domínio da função . Aqui, estamos lidando com funções logarítmicas, então vamos precisar entender onde essa função está “valendo” ou, melhor dizendo, onde ela está definida.

Passo 2

Primeiro, lembra que o domínio de uma função são todos os valores de para os quais a função está definida. No caso do logaritmo natural , o argumento precisa ser positivo, ou seja, . Então, para nossa função , precisamos que:

Passo 3

Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de que fazem a expressão ser positiva. Primeiro, é mais fácil trabalhar com a expressão sem o sinal negativo. Multiplicamos ambos os lados da desigualdade por -1, lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade:

Passo 4

Agora, vamos resolver a inequação quadrática . Para isso, primeiro encontramos as raízes da equação quadrática . Podemos fatorar essa equação:
As soluções são e .

Passo 5

Com as raízes encontradas, sabemos que a parábola corta o eixo nesses pontos. Como o coeficiente de é positivo, a parábola está voltada para cima. Portanto, ela será negativa entre as raízes e .

Passo 6

Assim, a desigualdade é verdadeira para valores de que estão entre 1 e 3. Ou seja:

Resposta

O domínio da função é o intervalo aberto:

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