Determine o domínio de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai descobrir para quais valores de
a função
está definida. Isso é o que chamamos de domínio da função. Para isso, precisamos verificar duas coisas:
- O denominador não pode ser zero, porque dividir por zero não dá certo.
- A expressão dentro da raiz quadrada tem que ser maior ou igual a zero, já que a raiz quadrada de número negativo não é um número real.
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que o denominador
não seja zero. Então, vamos resolver:
Isso significa que:
Sabemos que
, então:
Então, já sabemos que
não pode ser igual a zero.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a parte da raiz quadrada:
. Para que a expressão dentro da raiz seja válida, precisamos que:
Vamos resolver essa desigualdade. O valor absoluto de
,
, depende se
é positivo ou negativo.
Caso 1:
Se
é positivo ou zero, então
. Substituindo:
Isso é verdade, mas iguala a zero apenas quando
. Porém, já vimos que
. Portanto, nesse caso, não há valores válidos de
.
Caso 2:
Se
é negativo, então
. Substituindo:
Como
já é menor que zero nesse caso, essa condição é sempre verdadeira para
.
Passo 4
Resumindo o que descobrimos:
- Do Passo 2:
- Do Passo 3: Apenas
satisfaz a condição da raiz quadrada.
Então, o domínio da função
é todo número real negativo, já que qualquer número menor que zero satisfaz ambas as condições.
Resposta
O domínio da função
é todos os números reais negativos, ou seja: