Determine o domínio de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai descobrir para quais valores de a função está definida. Isso é o que chamamos de domínio da função. Para isso, precisamos verificar duas coisas:
O denominador não pode ser zero, porque dividir por zero não dá certo.
A expressão dentro da raiz quadrada tem que ser maior ou igual a zero, já que a raiz quadrada de número negativo não é um número real.
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que o denominador não seja zero. Então, vamos resolver:
Isso significa que:
Sabemos que , então:
Então, já sabemos que não pode ser igual a zero.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a parte da raiz quadrada: . Para que a expressão dentro da raiz seja válida, precisamos que:
Vamos resolver essa desigualdade. O valor absoluto de , , depende se é positivo ou negativo.
Caso 1:
Se é positivo ou zero, então . Substituindo:
Isso é verdade, mas iguala a zero apenas quando . Porém, já vimos que . Portanto, nesse caso, não há valores válidos de .
Caso 2:
Se é negativo, então . Substituindo:
Como já é menor que zero nesse caso, essa condição é sempre verdadeira para .
Passo 4
Resumindo o que descobrimos:
Do Passo 2:
Do Passo 3: Apenas satisfaz a condição da raiz quadrada.
Então, o domínio da função é todo número real negativo, já que qualquer número menor que zero satisfaz ambas as condições.
Resposta
O domínio da função é todos os números reais negativos, ou seja: