Determine o domínio de cada uma das funções, dadas pelas leis de correspondência abaixo e trace um esboço mostrando com uma região sombreada em R^2, o conjunto de pontos do domínio de f : f(x, y) = 1/(x - y) + raiz(x - y) - raiz3(x - y);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente determinar o domínio da função e fazer um esboço mostrando a região desse domínio no plano . Para isso, vamos precisar entender o que significa domínio de uma função e analisar cada parte da expressão para ver onde ela está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os possíveis valores das variáveis (neste caso, e ) para os quais a função está definida. Isso significa que precisamos garantir que todas as operações na função sejam válidas: denominadores não podem ser zero, radicandos de raízes pares devem ser não negativos, etc.

Passo 3

Vamos olhar para cada parte da função :
  1. : Aqui, o denominador não pode ser zero, ou seja, .
  2. : O radicando deve ser maior ou igual a zero para que a raiz quadrada esteja definida. Então, .
  3. : A raiz cúbica está definida para todos os números reais, então não impõe restrições adicionais.

Passo 4

Vamos combinar as restrições que encontramos:
  • De : .
  • De : .
A segunda condição ( ) já inclui que pode ser maior que ou igual a zero, mas precisamos excluir o caso em que pela primeira condição. Portanto, a única possibilidade válida é .

Passo 5

Então, o domínio da função é o conjunto de todos os pares tais que . Isso significa que deve ser maior que .

Resposta

O domínio da função é . No plano , isso corresponde a todos os pontos acima da reta , formando uma região sombreada onde é maior que .

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