Determine o domínio de cada uma das funções, dadas pelas leis de correspondência abaixo e trace um esboço mostrando com uma região sombreada em , o conjunto de pontos do domínio de : .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que descobrir o domínio da função . Isso envolve entender onde a função está bem definida. Para isso, vamos usar conceitos de matemática sobre domínio de funções, que são os valores de e para os quais a função faz sentido.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração, que é . A gente sabe que a divisão por zero não é permitida na matemática, então precisamos garantir que . Isso já nos dá uma das condições para o domínio.

Passo 3

Agora, vamos para o numerador, que envolve a raiz quadrada: . Para a raiz quadrada estar definida nos números reais, o que está dentro dela, chamado de radicando, precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos que:
Isso significa que:
Essa é a equação de um círculo com raio 2 centrado na origem.

Passo 4

Juntando as duas condições que encontramos:
O domínio será todos os pontos que estão dentro ou na borda do círculo de raio 2, mas excluindo aqueles onde , ou seja, excluindo o eixo .

Passo 5

Para visualizar isso, imagine um círculo de raio 2 no plano . Vamos sombrear toda a região dentro e na borda desse círculo, mas deixar o eixo sem sombra, pois os pontos onde não fazem parte do domínio.

Resposta

O domínio da função consiste em todos os pontos no plano que satisfazem e . Graficamente, é a região dentro e na borda de um círculo de raio 2 centrado na origem, excluindo o eixo .

Exercícios relacionados

Determine o domínio de cada uma das funções, dadas pelas leis de correspondência abaixo e trace um esboço mostrando com uma região sombreada em , o conjunto de pontos do domínio de : ;
Determine o domínio de cada uma das funções, dadas pelas leis de correspondência abaixo e trace um esboço mostrando com uma região sombreada em , o conjunto de pontos do domínio de : ;
Esboçar o gráfico das seguintes funções (no primeiro octante). .
Faça um esboço do sólido determinado pelas superfícies: ; sendo e .