Faça um esboço do sólido determinado pelas superfícies:
;
sendo
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que fazer um esboço de um sólido definido por várias superfícies e restrições:
-
Superfícies:
-
(o plano XY) -
(um plano inclinado)
-
-
Restrições:
-
Vamos precisar entender essas superfícies e condições para visualizar o sólido. Isso envolve conceitos de geometria espacial e análise de regiões no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as restrições no plano XY, onde
. As condições são:
Isso descreve uma região no primeiro quadrante do plano XY, limitada pela parábola
. Essa parábola é invertida (abre para baixo) e intercepta o eixo Y em
e o eixo X em
. Mas como
, consideramos apenas de
a
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a superfície
. Essa é uma equação de um plano inclinado que intercepta o eixo Z quando
e
, ou seja,
.
Para encontrar onde esse plano corta o plano XY (
), resolvemos:
Essa é uma reta no plano XY que vai de
até
.
Passo 4
Mas temos que lembrar das restrições
,
, e
. Então, a interseção relevante para o sólido está dentro da região
e
.
Isso significa que a parte do plano
que interessa para o sólido está acima dessa região no plano XY.
Passo 5
Para esboçar o sólido, imagine a região no plano XY definida pelas restrições, e então “eleve” essa região até o plano inclinado
. O sólido é, portanto, o espaço entre o plano XY (
) e o plano inclinado, limitado pelas curvas e restrições dadas.
Isso resulta em um tipo de “depressão” ou “cúpula” com base na região delimitada pela parábola e as linhas de restrição no plano XY.
Resposta
O sólido é a região tridimensional limitada pelo plano
, pelo plano inclinado
, e pelas restrições
,
,
. Esse sólido pode ser visualizado como uma figura elevada sobre a região do primeiro quadrante do plano XY definida pela parábola
, preenchida até o plano inclinado acima.
Exercícios relacionados
Esboçar o gráfico das seguintes funções (no primeiro octante).
.
Determine o domínio de cada uma das funções, dadas pelas leis de correspondência abaixo e trace um esboço mostrando com uma região sombreada em
, o conjunto de pontos do domínio de
:
.
Faça um esboço do sólido determinado pelas superfícies:
. Considere o sólido interior a superfície cilíndrica e
.
Faça um esboço do sólido, no 1o octante, limitado inferiormente pelo paraboloide
e superiormente pela esfera
.