Faça um esboço do sólido determinado pelas superfícies: ; sendo e .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que fazer um esboço de um sólido definido por várias superfícies e restrições:
  • Superfícies:
    • (o plano XY)
    • (um plano inclinado)
  • Restrições:
Vamos precisar entender essas superfícies e condições para visualizar o sólido. Isso envolve conceitos de geometria espacial e análise de regiões no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as restrições no plano XY, onde . As condições são:
Isso descreve uma região no primeiro quadrante do plano XY, limitada pela parábola . Essa parábola é invertida (abre para baixo) e intercepta o eixo Y em e o eixo X em . Mas como , consideramos apenas de a .

Passo 3

Agora, vamos considerar a superfície . Essa é uma equação de um plano inclinado que intercepta o eixo Z quando e , ou seja, .
Para encontrar onde esse plano corta o plano XY ( ), resolvemos:
Essa é uma reta no plano XY que vai de até .

Passo 4

Mas temos que lembrar das restrições , , e . Então, a interseção relevante para o sólido está dentro da região e .
Isso significa que a parte do plano que interessa para o sólido está acima dessa região no plano XY.

Passo 5

Para esboçar o sólido, imagine a região no plano XY definida pelas restrições, e então “eleve” essa região até o plano inclinado . O sólido é, portanto, o espaço entre o plano XY ( ) e o plano inclinado, limitado pelas curvas e restrições dadas.
Isso resulta em um tipo de “depressão” ou “cúpula” com base na região delimitada pela parábola e as linhas de restrição no plano XY.

Resposta

O sólido é a região tridimensional limitada pelo plano , pelo plano inclinado , e pelas restrições , , . Esse sólido pode ser visualizado como uma figura elevada sobre a região do primeiro quadrante do plano XY definida pela parábola , preenchida até o plano inclinado acima.

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