Esboçar o gráfico das seguintes funções (no primeiro octante). .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos o gráfico da função no primeiro octante. Isso envolve geometria espacial, onde trabalhamos com funções de três variáveis ( , , e ). Para resolver isso, vamos precisar entender como essa função se comporta no espaço 3D e identificar os pontos e interceptos importantes no primeiro octante (onde , e são todos positivos).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função representa. Essa é uma função linear em termos de e quadrática em termos de . No espaço 3D, ela descreve uma superfície que se curva devido ao termo e decresce linearmente com .

Passo 3

Vamos encontrar os interceptos com os eixos para facilitar o esboço:
  • Intercepto com o eixo : Acontece quando e . Substituindo na equação:
    Então, o intercepto com o eixo é o ponto .
  • Intercepto com o eixo : Acontece quando e . Substituindo na equação:
    Mas como estamos no primeiro octante, consideramos . Assim, o intercepto com o eixo é .
  • Intercepto com o eixo : Acontece quando e . Substituindo:
    Então, o intercepto com o eixo é .

Passo 4

Vamos determinar como a superfície se comporta ao variar e :
  • Para um valor fixo de : Se fixarmos , a equação se torna , onde é uma constante. Isso representa uma parábola que se abre para baixo no plano .
  • Para um valor fixo de : Se fixarmos , a equação se torna , que é uma linha reta descendente no plano .

Passo 5

Vamos identificar a região no primeiro octante:
Isso significa que apenas consideraremos os valores de , e que são positivos ou zero. Além disso, a equação impõe que:
E como , temos:
Também, como e , varia de 0 a 1 (porque se , seria negativo, o que não satisfaz ).

Passo 6

Agora, vamos plotar os interceptos e entender como a superfície se conecta:
  • : Ponto no topo, intercepto com .
  • : Ponto no eixo .
  • : Ponto no eixo .
Conectando esses pontos, percebemos que a superfície desce de em direção aos eixos e , formando uma espécie de teto inclinado.

Passo 7

Finalmente, para esboçar o gráfico:
  1. Desenhe os eixos , e em um sistema de coordenadas 3D.
  2. Marque os interceptos , e .
  3. Desenhe a linha que conecta esses pontos, formando um triângulo inclinado.
  4. Preencha a superfície interna desse triângulo para representar a função .

Resposta

Seguindo esses passos, você terá um esboço claro do gráfico da função no primeiro octante, destacando como a superfície se comporta e se conecta com os eixos.

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