Esboçar o gráfico das seguintes funções (no primeiro octante).
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos o gráfico da função
no primeiro octante. Isso envolve geometria espacial, onde trabalhamos com funções de três variáveis (
,
, e
). Para resolver isso, vamos precisar entender como essa função se comporta no espaço 3D e identificar os pontos e interceptos importantes no primeiro octante (onde
,
e
são todos positivos).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função
representa. Essa é uma função linear em termos de
e quadrática em termos de
. No espaço 3D, ela descreve uma superfície que se curva devido ao termo
e decresce linearmente com
.
Passo 3
Vamos encontrar os interceptos com os eixos para facilitar o esboço:
-
Intercepto com o eixo
: Acontece quando e . Substituindo na equação: Então, o intercepto com o eixoé o ponto . -
Intercepto com o eixo
: Acontece quando e . Substituindo na equação: Mas como estamos no primeiro octante, consideramos. Assim, o intercepto com o eixo é . -
Intercepto com o eixo
: Acontece quando e . Substituindo: Então, o intercepto com o eixoé .
Passo 4
Vamos determinar como a superfície se comporta ao variar
e
:
-
Para um valor fixo de
: Se fixarmos , a equação se torna , onde é uma constante. Isso representa uma parábola que se abre para baixo no plano . -
Para um valor fixo de
: Se fixarmos , a equação se torna , que é uma linha reta descendente no plano .
Passo 5
Vamos identificar a região no primeiro octante:
Isso significa que apenas consideraremos os valores de
,
e
que são positivos ou zero. Além disso, a equação
impõe que:
E como
, temos:
Também, como
e
,
varia de 0 a 1 (porque se
,
seria negativo, o que não satisfaz
).
Passo 6
Agora, vamos plotar os interceptos e entender como a superfície se conecta:
-
: Ponto no topo, intercepto com . -
: Ponto no eixo . -
: Ponto no eixo .
Conectando esses pontos, percebemos que a superfície desce de
em direção aos eixos
e
, formando uma espécie de teto inclinado.
Passo 7
Finalmente, para esboçar o gráfico:
- Desenhe os eixos
, e em um sistema de coordenadas 3D. - Marque os interceptos
, e . - Desenhe a linha que conecta esses pontos, formando um triângulo inclinado.
- Preencha a superfície interna desse triângulo para representar a função
.
Resposta
Seguindo esses passos, você terá um esboço claro do gráfico da função
no primeiro octante, destacando como a superfície se comporta e se conecta com os eixos.
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Determine o domínio de cada uma das funções, dadas pelas leis de correspondência abaixo e trace um esboço mostrando com uma região sombreada em
, o conjunto de pontos do domínio de
:
.
Determine o domínio de cada uma das funções, dadas pelas leis de correspondência abaixo e trace um esboço mostrando com uma região sombreada em
, o conjunto de pontos do domínio de
:
;
Faça um esboço do sólido determinado pelas superfícies:
;
sendo
e
.
Faça um esboço do sólido determinado pelas superfícies:
. Considere o sólido interior a superfície cilíndrica e
.