Determine o domínio, o conjunto imagem e faça um esboço gráfico do domínio das seguintes funções: f(x, y, z) = raiz(x^2 + y^2 + z^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio, o conjunto imagem e fazer um esboço gráfico do domínio da função . Vamos usar conceitos de análise de funções e geometria espacial para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os possíveis valores de entrada (no caso, , e ) para os quais a função está definida. Aqui, temos uma raiz quadrada, então o que está dentro dela precisa ser não negativo para termos números reais.

Passo 3

A expressão dentro da raiz quadrada é . Como o quadrado de qualquer número real é sempre positivo ou zero, a soma desses quadrados também será sempre não negativa. Ou seja:
Portanto, a função está definida para todos os valores reais de , e .

Passo 4

Agora, vamos determinar o conjunto imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de saída. Como a raiz quadrada sempre retorna um número não negativo, o menor valor que pode ter é 0 (quando ), e ele pode aumentar até o infinito conforme os valores de , e aumentam.

Passo 5

Por fim, vamos fazer um esboço gráfico do domínio da função. Como o domínio é todo o espaço tridimensional ( ), o esboço gráfico é simplesmente um espaço vazio, já que todas as coordenadas são permitidas.

Resposta

  • Domínio: Todos os números reais , e . Ou seja, .
  • Conjunto imagem: Todos os números reais não negativos, .
  • Esboço gráfico do domínio: Representa todo o espaço tridimensional ( ), sem restrições.

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