Determine o domínio, o conjunto imagem e faça um esboço gráfico do domínio das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio, o conjunto imagem e fazer um esboço gráfico do domínio da função . Vamos usar conceitos de análise de funções e geometria espacial para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os possíveis valores de entrada (no caso, , e ) para os quais a função está definida. Aqui, temos uma raiz quadrada, então o que está dentro dela precisa ser não negativo para termos números reais.
Passo 3
A expressão dentro da raiz quadrada é . Como o quadrado de qualquer número real é sempre positivo ou zero, a soma desses quadrados também será sempre não negativa. Ou seja:
Portanto, a função está definida para todos os valores reais de , e .
Passo 4
Agora, vamos determinar o conjunto imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de saída. Como a raiz quadrada sempre retorna um número não negativo, o menor valor que pode ter é 0 (quando ), e ele pode aumentar até o infinito conforme os valores de , e aumentam.
Passo 5
Por fim, vamos fazer um esboço gráfico do domínio da função. Como o domínio é todo o espaço tridimensional (), o esboço gráfico é simplesmente um espaço vazio, já que todas as coordenadas são permitidas.
Resposta
Domínio: Todos os números reais , e . Ou seja, .
Conjunto imagem: Todos os números reais não negativos, .
Esboço gráfico do domínio: Representa todo o espaço tridimensional (), sem restrições.