Mostre que a curva com equações paramétricas . passa pelos pontos mas não passa pelo ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que uma curva definida pelas equações paramétricas , e passa por dois pontos específicos: e . Além disso, temos que provar que ela não passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas paramétricas e como verificar se um ponto está na curva, ou seja, encontrar um valor de que satisfaça as equações para cada ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a curva passa pelo ponto . Para isso, precisamos encontrar um valor de que faça com que as coordenadas , e da curva coincidam com as do ponto.
Dados:
Vamos resolver para :
De , já sabemos que .
De :
Agora, verificamos com :
Tudo confere! O ponto está na curva quando .
Passo 3
Agora, vamos verificar o ponto .
Dados:
Resolvendo para :
De , temos .
De :
Verificamos com :
Tudo certo de novo! O ponto também está na curva quando .
Passo 4
Por fim, vamos verificar se a curva passa pelo ponto .
Dados:
Resolvendo para :
De , temos .
De :
Verificamos com :
Aqui temos um problema! A coordenada da curva com é , mas o ponto dado tem . Como , o ponto não está na curva.
Resposta
A curva passa pelos pontos e , mas não passa pelo ponto .