Mostre que a curva com equações paramétricas
.
passa pelos pontos
mas não passa pelo ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que uma curva definida pelas equações paramétricas
,
e
passa por dois pontos específicos:
e
. Além disso, temos que provar que ela não passa pelo ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas paramétricas e como verificar se um ponto está na curva, ou seja, encontrar um valor de
que satisfaça as equações para cada ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a curva passa pelo ponto
. Para isso, precisamos encontrar um valor de
que faça com que as coordenadas
,
e
da curva coincidam com as do ponto.
Dados:
Vamos resolver para
:
- De
, já sabemos que . - De
:
- Agora, verificamos
com :
Tudo confere! O ponto
está na curva quando
.
Passo 3
Agora, vamos verificar o ponto
.
Dados:
Resolvendo para
:
- De
, temos . - De
:
- Verificamos
com :
Tudo certo de novo! O ponto
também está na curva quando
.
Passo 4
Por fim, vamos verificar se a curva passa pelo ponto
.
Dados:
Resolvendo para
:
- De
, temos . - De
:
- Verificamos
com :
Aqui temos um problema! A coordenada
da curva com
é
, mas o ponto dado tem
. Como
, o ponto
não está na curva.
Resposta
A curva passa pelos pontos
e
, mas não passa pelo ponto
.