Mostre que a curva com equações paramétricas x = i. y = 1 - 3 t, z = 1 + t^3 passa pelos pontos (1, 4, 0) e (9, -8, 28) mas não passa pelo ponto (4, 7, -6).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que uma curva definida pelas equações paramétricas , e passa por dois pontos específicos: e . Além disso, temos que provar que ela não passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas paramétricas e como verificar se um ponto está na curva, ou seja, encontrar um valor de que satisfaça as equações para cada ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a curva passa pelo ponto . Para isso, precisamos encontrar um valor de que faça com que as coordenadas , e da curva coincidam com as do ponto.
Dados:
Vamos resolver para :
  1. De , já sabemos que .
  2. De :
  1. Agora, verificamos com :
Tudo confere! O ponto está na curva quando .

Passo 3

Agora, vamos verificar o ponto .
Dados:
Resolvendo para :
  1. De , temos .
  2. De :
  1. Verificamos com :
Tudo certo de novo! O ponto também está na curva quando .

Passo 4

Por fim, vamos verificar se a curva passa pelo ponto .
Dados:
Resolvendo para :
  1. De , temos .
  2. De :
  1. Verificamos com :
Aqui temos um problema! A coordenada da curva com é , mas o ponto dado tem . Como , o ponto não está na curva.

Resposta

A curva passa pelos pontos e , mas não passa pelo ponto .

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