Determine o domínio, o conjunto imagem e faça um esboço gráfico do domínio das seguintes funções: z = raiz(9 - (x^2 + y^2))

Passo 1

Neste exercício, vamos determinar o domínio e o conjunto imagem da função . Para isso, vamos utilizar conceitos de funções de múltiplas variáveis, especificamente relacionados à radiciação e às condições para que a expressão dentro da raiz seja não negativa. Também vamos fazer um esboço gráfico do domínio da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio consiste em todos os valores de e que tornam a expressão dentro da raiz real e não negativa, porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.
Isso significa que:

Passo 3

Resolvendo a inequação:
Essa é a equação de um círculo de raio 3 centrado na origem no plano . Portanto, o domínio da função é o conjunto de todos os pontos dentro e sobre esse círculo.

Passo 4

Agora, vamos determinar o conjunto imagem da função. A função é a raiz quadrada de , então o valor de será sempre não negativo e limitado pelo máximo valor que a expressão dentro da raiz pode atingir.
Quando (no ponto ):
Quando (na borda do domínio):
Portanto, o conjunto imagem de é:

Passo 5

Para o esboço gráfico do domínio, representamos a região no plano onde . Isso corresponde a um círculo de raio 3, incluindo sua borda. Esse é o local onde a função está definida.

Resposta

Domínio: Todos os pontos no plano que satisfazem .
Conjunto imagem: .
Esboço gráfico: Um círculo de raio 3 no plano , incluindo sua borda.

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