Determine o domínio, o conjunto imagem e faça um esboço gráfico do domínio das seguintes funções:
Passo 1
Neste exercício, vamos determinar o domínio e o conjunto imagem da função
. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções de múltiplas variáveis, especificamente relacionados à radiciação e às condições para que a expressão dentro da raiz seja não negativa. Também vamos fazer um esboço gráfico do domínio da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio consiste em todos os valores de
e
que tornam a expressão dentro da raiz real e não negativa, porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.
Isso significa que:
Passo 3
Resolvendo a inequação:
Essa é a equação de um círculo de raio 3 centrado na origem no plano
. Portanto, o domínio da função
é o conjunto de todos os pontos
dentro e sobre esse círculo.
Passo 4
Agora, vamos determinar o conjunto imagem da função. A função
é a raiz quadrada de
, então o valor de
será sempre não negativo e limitado pelo máximo valor que a expressão dentro da raiz pode atingir.
Quando
(no ponto
):
Quando
(na borda do domínio):
Portanto, o conjunto imagem de
é:
Passo 5
Para o esboço gráfico do domínio, representamos a região no plano
onde
. Isso corresponde a um círculo de raio 3, incluindo sua borda. Esse é o local onde a função
está definida.
Resposta
Domínio: Todos os pontos
no plano que satisfazem
.
Conjunto imagem:
.
Esboço gráfico: Um círculo de raio 3 no plano
, incluindo sua borda.