Mostre que se e somente se para todo existe um número tal que
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Mais adiante neste capítulo, utilizaremos as funções vetoriais para descrever o movimento dos planetas e outros objetos no espaço. Vamos nos preparar aqui para desenvolver o cálculo com funções vetoriais

DERIVADAS

A derivada de uma função vetorial é definida do mesmo modo como foi feito para as funções a valores reais:
se este limite existir. O significado geométrico dessa definição está representado na Figura 1. Se os pontos e têm vetores posição e , então representa o vetor , que pode ser visto como um vetor secante. Se , o múltiplo por escalar tem a mesma direção e sentido que . Quando

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o limite de uma função vetorial quando se aproxima de é igual a um vetor se e somente se, para todo , existe um tal que, se , então . Isso está dentro do conteúdo de limites de funções vetoriais usando a definição de - . Vamos precisar entender como aplicar essa definição para provar a equivalência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, conforme se aproxima de , a função vetorial se aproxima do vetor . Para provar essa igualdade usando a definição de - , precisamos mostrar duas coisas: se o limite existe e é , então a condição com e é satisfeita, e vice-versa.

Passo 3

Vamos começar provando que se , então para todo , existe um tal que implica . Isso segue diretamente da definição de limite. Se o limite existe e é , então por definição, para qualquer que a gente escolher, tem que rolar um correspondente que faz com que a distância entre e seja menor que sempre que estiver dentro desse intervalo de .

Passo 4

Agora, vamos fazer o contrário: assumir que para todo , existe um tal que implica , e mostrar que isso implica que . Isso também segue da definição de limite. Se essa condição com e é satisfeita, então, por definição, o limite da função vetorial quando se aproxima de é realmente .

Resposta

Assim, mostramos que se e somente se, para todo , existe um número tal que, se , então .

Exercícios relacionados

Mostre que a curva com equações paramétricas . passa pelos pontos mas não passa pelo ponto .
Determine o domínio das funções vetoriais,
Determine o domínio, o conjunto imagem e faça um esboço gráfico do domínio das seguintes funções:
Considere dois corpos de prova A e B do mesmo compósito reforçado com fibras de vidro, cuja resistência à flexão é de 290 MPa . O corpo de prova A tem o triplo da largura e a metade da espessura do corpo de prova B e ambos são submetidos ao mesmo ensaio de flexão. Nessa situação, qual porcentagem da força necessária para o rompimento do corpo de prova B deverá ser aplicada ao corpo de prova A para que este também se rompa?