Mostre que se e somente se para todo existe um número tal que
Mais adiante neste capítulo, utilizaremos as funções vetoriais para descrever o movimento dos planetas e outros objetos no espaço. Vamos nos preparar aqui para desenvolver o cálculo com funções vetoriais
DERIVADAS
A derivada de uma função vetorial é definida do mesmo modo como foi feito para as funções a valores reais:
se este limite existir. O significado geométrico dessa definição está representado na Figura 1. Se os pontos e têm vetores posição e , então representa o vetor , que pode ser visto como um vetor secante. Se , o múltiplo por escalar tem a mesma direção e sentido que . Quando
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o limite de uma função vetorial quando se aproxima de é igual a um vetor se e somente se, para todo , existe um tal que, se , então . Isso está dentro do conteúdo de limites de funções vetoriais usando a definição de -. Vamos precisar entender como aplicar essa definição para provar a equivalência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, conforme se aproxima de , a função vetorial se aproxima do vetor . Para provar essa igualdade usando a definição de -, precisamos mostrar duas coisas: se o limite existe e é , então a condição com e é satisfeita, e vice-versa.
Passo 3
Vamos começar provando que se , então para todo , existe um tal que implica . Isso segue diretamente da definição de limite. Se o limite existe e é , então por definição, para qualquer que a gente escolher, tem que rolar um correspondente que faz com que a distância entre e seja menor que sempre que estiver dentro desse intervalo de .
Passo 4
Agora, vamos fazer o contrário: assumir que para todo , existe um tal que implica , e mostrar que isso implica que . Isso também segue da definição de limite. Se essa condição com e é satisfeita, então, por definição, o limite da função vetorial quando se aproxima de é realmente .
Resposta
Assim, mostramos que se e somente se, para todo , existe um número tal que, se , então .