Mostre que se e somente se para todo existe um número tal que
Mais adiante neste capítulo, utilizaremos as funções vetoriais para descrever o movimento dos planetas e outros objetos no espaço. Vamos nos preparar aqui para desenvolver o cálculo com funções vetoriais
DERIVADAS
A derivada de uma função vetorial é definida do mesmo modo como foi feito para as funções a valores reais:
se este limite existir. O significado geométrico dessa definição está representado na Figura 1. Se os pontos e têm vetores posição e , então representa o vetor r(t+h)-r(t), que pode ser visto como um vetor secante. Se h>0, o múltiplo por escalar (1 / h)(r(t+h)-r(t)) tem a mesma direção e sentido que r(t+h)-r(t). Quando
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o limite de uma função vetorial r(t) quando t se aproxima de a é igual a um vetor b se e somente se, para todo varepsilon > 0, existe um de 0 tal que, se 0 < |t - a| < de, então |r(t) - b| < varepsilon. Isso está dentro do conteúdo de limites de funções vetoriais usando a definição de varepsilon-de. Vamos precisar entender como aplicar essa definição para provar a equivalência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa lim t a r(t)=b. Isso quer dizer que, conforme t se aproxima de a, a função vetorial r(t) se aproxima do vetor b. Para provar essa igualdade usando a definição de varepsilon-de, precisamos mostrar duas coisas: se o limite existe e é b, então a condição com varepsilon e de é satisfeita, e vice-versa.
Passo 3
Vamos começar provando que se lim t a r(t)=b, então para todo varepsilon > 0, existe um de 0 tal que 0 < |t - a| < de implica |r(t) - b| < varepsilon. Isso segue diretamente da definição de limite. Se o limite existe e é b, então por definição, para qualquer varepsilon que a gente escolher, tem que rolar um de correspondente que faz com que a distância entre r(t) e b seja menor que varepsilon sempre que t estiver dentro desse intervalo de de a.
Passo 4
Agora, vamos fazer o contrário: assumir que para todo varepsilon > 0, existe um de 0 tal que 0 < |t - a| < de implica |r(t) - b| < varepsilon, e mostrar que isso implica que lim t a r(t)=b. Isso também segue da definição de limite. Se essa condição com varepsilon e de é satisfeita, então, por definição, o limite da função vetorial r(t) quando t se aproxima de a é realmente b.
Resposta
Assim, mostramos que lim t a r(t)=b se e somente se, para todo varepsilon>0, existe um número de0 tal que, se 0<|t-a|, então |r(t)-b|.