Determine o domínio, o conjunto imagem e faça um esboço gráfico do domínio das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar o domínio, o conjunto imagem e fazer um esboço gráfico do domínio da função
. Isso tudo faz parte do estudo de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender onde a função está definida (domínio), quais valores ela pode assumir (imagem) e como fica essa região no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. Olhando para a nossa função
, percebemos que tem uma divisão. Lembrando que a divisão por zero não é permitida na matemática, então precisamos garantir que o denominador não seja zero. Ou seja,
. Isso implica que
. Portanto, o domínio é todos os números reais
onde
é diferente de
.
Passo 3
Agora, vamos determinar o conjunto imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Queremos ver se para qualquer número real
, existe um par
que satisfaça
. Podemos resolver essa equação para
em termos de
e
:
Isso mostra que para qualquer
, podemos encontrar um
que satisfaça a equação. Mesmo quando
, podemos ajustar os valores de
e
para obter um valor válido. Portanto, o conjunto imagem é todo o conjunto dos números reais, ou seja,
.
Passo 4
Por fim, vamos fazer um esboço gráfico do domínio. Lembrando que o domínio é onde
, isso significa que todos os pontos no plano
são permitidos, exceto aqueles que estão na linha onde
. Então, no gráfico, teremos todo o plano dividido pela linha reta
, que não faz parte do domínio.
Resposta
- Domínio: Todos os pares
em onde . - Conjunto imagem: Todos os números reais,
. - Esboço gráfico do domínio: O plano cartesiano completo menos a linha reta
.