Determine o domínio, o conjunto imagem e faça um esboço gráfico do domínio das seguintes funções: f(x, y) = (3x^2 + 5y) / (x - y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar o domínio, o conjunto imagem e fazer um esboço gráfico do domínio da função f(x, y) = (3x^2 + 5y) / (x - y). Isso tudo faz parte do estudo de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender onde a função está definida (domínio), quais valores ela pode assumir (imagem) e como fica essa região no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares (x, y) para os quais a função está definida. Olhando para a nossa função f(x, y) = (3x^2 + 5y) / (x - y), percebemos que tem uma divisão. Lembrando que a divisão por zero não é permitida na matemática, então precisamos garantir que o denominador não seja zero. Ou seja, . Isso implica que . Portanto, o domínio é todos os números reais (x, y) onde y é diferente de x.

Passo 3

Agora, vamos determinar o conjunto imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que f(x, y) pode assumir. Queremos ver se para qualquer número real z, existe um par (x, y) que satisfaça . Podemos resolver essa equação para y em termos de x e z:
Isso mostra que para qualquer , podemos encontrar um y que satisfaça a equação. Mesmo quando , podemos ajustar os valores de x e y para obter um valor válido. Portanto, o conjunto imagem é todo o conjunto dos números reais, ou seja, R.

Passo 4

Por fim, vamos fazer um esboço gráfico do domínio. Lembrando que o domínio é onde , isso significa que todos os pontos no plano (x, y) são permitidos, exceto aqueles que estão na linha onde . Então, no gráfico, teremos todo o plano dividido pela linha reta , que não faz parte do domínio.

Resposta

  • Domínio: Todos os pares (x, y) em R^2 onde .
  • Conjunto imagem: Todos os números reais, R.
  • Esboço gráfico do domínio: O plano cartesiano completo menos a linha reta .

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