Determine: domínio, crescimento e/ou decrescimento, concavidades, assintotas e esboce o gráfico da função definida por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio, os intervalos de crescimento e decrescimento, as concavidades, as assíntotas e fazer um esboço do gráfico da função . Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de funções, derivadas e análise de gráficos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de valores de para os quais a função está definida. Aqui, temos a raiz quadrada de , ou seja, . A raiz quadrada só está definida para . Além disso, o denominador não está presente, então não precisamos nos preocupar com divisão por zero. Portanto, o domínio da função é:

Passo 3

Agora, vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, vamos calcular a primeira derivada da função em relação a .
Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação:
Aplicando a regra do produto, temos:
Calculando as derivadas individuais:
Substituindo de volta:
Vamos simplificar:
Para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal de :
Então:
  • A função cresce para .
  • A função decresce para .

Passo 4

Vamos agora determinar as concavidades da função, ou seja, onde a função é côncava para cima ou para baixo. Para isso, calculamos a segunda derivada .
A primeira derivada que obtivemos foi:
Vamos derivar novamente:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Analisando o sinal de :
Como no domínio, todos os termos no numerador e denominador são positivos. Portanto, para todo .
Isso significa que a função é côncava para cima em todo o seu domínio.

Passo 5

Vamos identificar as assíntotas da função. Assíntotas podem ser horizontais, verticais ou oblíquas.
  • Assíntotas Verticais: Ocorram quando o denominador tende a zero. Aqui, não temos denominador que possa ser zero além de , que já está incluído no domínio . Portanto, não há assíntotas verticais.
  • Assíntotas Horizontais: Verificamos o limite da função quando tende ao infinito.
Como o limite tende ao infinito, não há assíntotas horizontais.
  • Assíntotas Oblíquas: Também não existem, já que a função tende ao infinito de forma mais rápida.
Portanto, a função não possui assíntotas.

Passo 6

Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico da função .
Resumo das características:
  • Domínio: .
  • Crescimento: .
  • Decrescimento: .
  • Concavidade: Côncava para cima em todo o domínio.
  • Assíntotas: Nenhuma.
Pontos importantes para o gráfico:
  • Em : .
  • Em : .
  • Em : .
  • Quando tende ao infinito, também tende ao infinito.
Com essas informações, podemos desenhar uma curva que começa no ponto , desce até , sobe passando por e continua subindo para o infinito, sempre com a concavidade voltada para cima.

Resposta

O domínio da função é . A função decresce no intervalo e cresce em . Ela é côncava para cima em todo o seu domínio e não possui assíntotas. O esboço do gráfico apresenta uma curva que desce até , passa pelo ponto e continua crescendo para o infinito.

Exercícios relacionados

Calcule:
Calcule a função inversa das seguintes funções e calcule nos valores indicados:
Mostre que converge se e diverge se .
A série é convergente ou divergente? Justifique.