Determine: domínio, crescimento e/ou decrescimento, concavidades, assintotas e esboce o gráfico da função definida por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio, os intervalos de crescimento e decrescimento, as concavidades, as assíntotas e fazer um esboço do gráfico da função
. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de funções, derivadas e análise de gráficos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de valores de
para os quais a função está definida. Aqui, temos a raiz quadrada de
, ou seja,
. A raiz quadrada só está definida para
. Além disso, o denominador não está presente, então não precisamos nos preocupar com divisão por zero. Portanto, o domínio da função é:
Passo 3
Agora, vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, vamos calcular a primeira derivada da função
em relação a
.
Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação:
Aplicando a regra do produto, temos:
Calculando as derivadas individuais:
Substituindo de volta:
Vamos simplificar:
Para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal de
:
Então:
- A função cresce para
. - A função decresce para
.
Passo 4
Vamos agora determinar as concavidades da função, ou seja, onde a função é côncava para cima ou para baixo. Para isso, calculamos a segunda derivada
.
A primeira derivada que obtivemos foi:
Vamos derivar novamente:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Analisando o sinal de
:
Como
no domínio, todos os termos no numerador e denominador são positivos. Portanto,
para todo
.
Isso significa que a função é côncava para cima em todo o seu domínio.
Passo 5
Vamos identificar as assíntotas da função. Assíntotas podem ser horizontais, verticais ou oblíquas.
-
Assíntotas Verticais: Ocorram quando o denominador tende a zero. Aqui, não temos denominador que possa ser zero além de
, que já está incluído no domínio . Portanto, não há assíntotas verticais. -
Assíntotas Horizontais: Verificamos o limite da função quando
tende ao infinito.
Como o limite tende ao infinito, não há assíntotas horizontais.
- Assíntotas Oblíquas: Também não existem, já que a função tende ao infinito de forma mais rápida.
Portanto, a função não possui assíntotas.
Passo 6
Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico da função
.
Resumo das características:
- Domínio:
. - Crescimento:
. - Decrescimento:
. - Concavidade: Côncava para cima em todo o domínio.
- Assíntotas: Nenhuma.
Pontos importantes para o gráfico:
- Em
: . - Em
: . - Em
: . - Quando
tende ao infinito, também tende ao infinito.
Com essas informações, podemos desenhar uma curva que começa no ponto
, desce até
, sobe passando por
e continua subindo para o infinito, sempre com a concavidade voltada para cima.
Resposta
O domínio da função é
. A função decresce no intervalo
e cresce em
. Ela é côncava para cima em todo o seu domínio e não possui assíntotas. O esboço do gráfico apresenta uma curva que desce até
, passa pelo ponto
e continua crescendo para o infinito.
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Calcule:
Calcule a função inversa das seguintes funções e calcule
nos valores indicados:
Mostre que
converge se
e diverge se
.
A série
é convergente ou divergente? Justifique.