A série
é convergente ou divergente? Justifique.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita da forma:
Nosso objetivo é determinar se essa série é convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre séries infinitas e critérios de convergência.
Passo 2
Vamos começar examinando o termo geral da série, que é . Para determinar a convergência ou divergência de uma série, um dos primeiros passos é verificar o limite do termo geral quando
tende ao infinito.
Passo 3
Calculamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Sabemos que para valores pequenos de
, a função seno pode ser aproximada por . Como
tende a zero quando
tende ao infinito, podemos usar essa aproximação:
Passo 4
Substituindo a aproximação na expressão original:
Portanto, o limite do termo geral é:
Passo 5
Agora, aplicamos o Teste da Divergência (também conhecido como Teste do Termo Geral). Esse teste diz que se o limite do termo geral
não for zero, ou não existir, então a série diverge.
No nosso caso, o limite de
é 1, que é diferente de zero.
Passo 6
Como o limite do termo geral não é zero:
Pelo Teste da Divergência, concluímos que a série não converge.
Resposta
A série é divergente.
Exercícios relacionados
Mostre que
converge se
e diverge se
.
Determine: domínio, crescimento e/ou decrescimento, concavidades, assintotas e esboce o gráfico da função definida por
.
Determine o domínio da série dada por:
Determine o domínio da série dada por: