A série é convergente ou divergente? Justifique.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita da forma:
Nosso objetivo é determinar se essa série é convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre séries infinitas e critérios de convergência.

Passo 2

Vamos começar examinando o termo geral da série, que é . Para determinar a convergência ou divergência de uma série, um dos primeiros passos é verificar o limite do termo geral quando tende ao infinito.

Passo 3

Calculamos o limite de quando tende ao infinito:
Sabemos que para valores pequenos de , a função seno pode ser aproximada por . Como tende a zero quando tende ao infinito, podemos usar essa aproximação:

Passo 4

Substituindo a aproximação na expressão original:
Portanto, o limite do termo geral é:

Passo 5

Agora, aplicamos o Teste da Divergência (também conhecido como Teste do Termo Geral). Esse teste diz que se o limite do termo geral não for zero, ou não existir, então a série diverge.
No nosso caso, o limite de é 1, que é diferente de zero.

Passo 6

Como o limite do termo geral não é zero:
Pelo Teste da Divergência, concluímos que a série não converge.

Resposta

A série é divergente.

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Mostre que converge se e diverge se .
Determine: domínio, crescimento e/ou decrescimento, concavidades, assintotas e esboce o gráfico da função definida por .
Determine o domínio da série dada por:
Determine o domínio da série dada por: