Mostre que sumn=1^+infty q^n converge se |q|<1 e diverge se |q| >= 1.

Passo 1

Vamos analisar a soma infinita sumn=1^+infty q^n. Esse é um exemplo de série geométrica, que é uma sequência de termos onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão, no caso, q. Para resolver, vamos verificar quando essa série converge (ou seja, soma a um valor finito) e quando diverge (não soma a um valor finito).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série geométrica sumn=0^+infty ar^n converge se o valor absoluto da razão |r| for menor que 1, e diverge se |r| >= 1. No nosso caso, temos a = q e r = q, começando de n=1. Mas isso não muda a condição de convergência, que ainda depende de |q|.

Passo 3

Se |q| < 1, a série geométrica converge. Podemos encontrar a soma da série usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
sumn=1^+infty q^n = q1 - q
Isso significa que, quando |q| é menor que 1, a soma dos termos da série chega a um número finito.

Passo 4

Por outro lado, se |q| >= 1, a razão não satisfaz a condição de convergência da série geométrica. Quando |q| >= 1, os termos da série não tendem a zero, e a soma não se aproxima de nenhum valor finito, ou seja, a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^+infty q^n converge se |q| < 1 e diverge se |q| >= 1.

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