Mostre que converge se e diverge se .

Passo 1

Vamos analisar a soma infinita . Esse é um exemplo de série geométrica, que é uma sequência de termos onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão, no caso, . Para resolver, vamos verificar quando essa série converge (ou seja, soma a um valor finito) e quando diverge (não soma a um valor finito).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, e diverge se . No nosso caso, temos e , começando de . Mas isso não muda a condição de convergência, que ainda depende de .

Passo 3

Se , a série geométrica converge. Podemos encontrar a soma da série usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Isso significa que, quando é menor que 1, a soma dos termos da série chega a um número finito.

Passo 4

Por outro lado, se , a razão não satisfaz a condição de convergência da série geométrica. Quando , os termos da série não tendem a zero, e a soma não se aproxima de nenhum valor finito, ou seja, a série diverge.

Resposta

A série converge se e diverge se .

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Determine: domínio, crescimento e/ou decrescimento, concavidades, assintotas e esboce o gráfico da função definida por .
Calcule:
A série é convergente ou divergente? Justifique.
Determine o domínio da série dada por: