Mostre que
converge se
e diverge se
.
Passo 1
Vamos analisar a soma infinita
. Esse é um exemplo de série geométrica, que é uma sequência de termos onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão, no caso,
. Para resolver, vamos verificar quando essa série converge (ou seja, soma a um valor finito) e quando diverge (não soma a um valor finito).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série geométrica
converge se o valor absoluto da razão
for menor que 1, e diverge se
. No nosso caso, temos
e
, começando de
. Mas isso não muda a condição de convergência, que ainda depende de
.
Passo 3
Se
, a série geométrica converge. Podemos encontrar a soma da série usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Isso significa que, quando
é menor que 1, a soma dos termos da série chega a um número finito.
Passo 4
Por outro lado, se
, a razão não satisfaz a condição de convergência da série geométrica. Quando
, os termos da série não tendem a zero, e a soma não se aproxima de nenhum valor finito, ou seja, a série diverge.
Resposta
A série
converge se
e diverge se
.
Exercícios relacionados
Determine: domínio, crescimento e/ou decrescimento, concavidades, assintotas e esboce o gráfico da função definida por
.
Calcule:
A série
é convergente ou divergente? Justifique.
Determine o domínio da série dada por: