Determine o domínio e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente determinar o domínio e esboçar o gráfico da função definida por partes:
Aqui, estamos lidando com funções definidas por partes, que é um tópico de funções na matemática. Para isso, precisamos entender o que é o domínio da função e como esboçar o gráfico dela com base nas diferentes partes que a compõem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para a definição da função:
  • Para , a função é . Aqui, pode ser qualquer número menor ou igual a 2.
  • Para , a função é . Nesse caso, pode ser qualquer número maior que 2.
Então, combinando essas duas partes, percebemos que a função está definida para todos os valores reais de . Não há restrições além das já dadas nas duas partes da função.

Passo 3

Agora, vamos esboçar o gráfico da função. Vamos analisar cada parte separadamente:
  1. Para :
    • A função é , que é uma linha reta com inclinação 1 que passa pela origem.
    • Como é válida para , desenhamos essa reta até .
    • No ponto , o valor de é 2. Vamos representar esse ponto com um círculo cheio, indicando que está incluído nessa parte.
  2. Para :
    • A função é constante, , o que significa que para qualquer maior que 2, sempre será 3.
    • Desenhamos uma linha horizontal em , começando logo após .
    • No ponto , essa parte não inclui , então colocamos um círculo vazio no ponto para mostrar que não está incluído nessa parte.

Resposta

O domínio da função é (todos os números reais). O gráfico da função é uma linha reta com inclinação 1 para e uma linha horizontal em para , com um ponto fechado em e um ponto aberto em .

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