Determine o domínio e esboce o gráfico das funções cossecante e cotangente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio e esboçar o gráfico das funções cossecante e cotangente. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas, especialmente sobre cossecante ( ) e cotangente ( ). Vamos precisar entender onde essas funções estão definidas e como elas se comportam no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a função cossecante, que é o inverso do seno. A função cossecante é definida como:
Para encontrar o domínio da , precisamos identificar onde essa função está definida. Como é um inverso, a função sen(x) não pode ser igual a zero, porque não dá para dividir por zero.

Passo 3

Então, a função está definida para todos os valores de onde . Sabemos que quando é múltiplo de , ou seja, quando:
Portanto, o domínio da é:

Passo 4

Agora, vamos esboçar o gráfico da cossecante. Como é o inverso do seno, o gráfico dela terá assíntotas verticais onde o seno é zero (isto é, em ). Além disso, o gráfico se parece com duas curvas contínuas em cada intervalo entre as assíntotas, já que o seno oscila entre -1 e 1.

Passo 5

Passando para a função cotangente, que é o inverso da tangente multiplicado pelo cosseno. A função cotangente é definida como:
Para determinar o domínio da , precisamos que , assim como fizemos para a cossecante.

Passo 6

Portanto, o domínio da é:
Ou seja, também não está definida nos múltiplos de .

Passo 7

Para esboçar o gráfico da cotangente, lembramos que ela tem assíntotas verticais em . O gráfico da decresce de a em cada intervalo entre as assíntotas, cruzando o eixo quando , ou seja, em .

Resposta

Domínio:
Esboço dos Gráficos:
  • Cossecante ( ): Possui assíntotas verticais em . O gráfico consiste em duas curvas contínuas em cada intervalo entre as assíntotas, refletindo os valores do inverso do seno.
  • Cotangente ( ): Também possui assíntotas verticais em . O gráfico decresce continuamente de a em cada intervalo, cruzando o eixo em .

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