Determine o domínio e esboce o gráfico das funções cossecante e cotangente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio e esboçar o gráfico das funções cossecante e cotangente. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas, especialmente sobre cossecante (
) e cotangente (
). Vamos precisar entender onde essas funções estão definidas e como elas se comportam no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a função cossecante, que é o inverso do seno. A função cossecante é definida como:
Para encontrar o domínio da
, precisamos identificar onde essa função está definida. Como é um inverso, a função sen(x) não pode ser igual a zero, porque não dá para dividir por zero.
Passo 3
Então, a função
está definida para todos os valores de
onde . Sabemos que quando
é múltiplo de
, ou seja, quando:
Portanto, o domínio da
é:
Passo 4
Agora, vamos esboçar o gráfico da cossecante. Como
é o inverso do seno, o gráfico dela terá assíntotas verticais onde o seno é zero (isto é, em
). Além disso, o gráfico se parece com duas curvas contínuas em cada intervalo entre as assíntotas, já que o seno oscila entre -1 e 1.
Passo 5
Passando para a função cotangente, que é o inverso da tangente multiplicado pelo cosseno. A função cotangente é definida como:
Para determinar o domínio da
, precisamos que , assim como fizemos para a cossecante.
Passo 6
Portanto, o domínio da
é:
Ou seja,
também não está definida nos múltiplos de
.
Passo 7
Para esboçar o gráfico da cotangente, lembramos que ela tem assíntotas verticais em
. O gráfico da
decresce de
a
em cada intervalo entre as assíntotas, cruzando o eixo
quando
, ou seja, em
.
Resposta
Domínio:
Esboço dos Gráficos:
- Cossecante (
): Possui assíntotas verticais em . O gráfico consiste em duas curvas contínuas em cada intervalo entre as assíntotas, refletindo os valores do inverso do seno. - Cotangente (
): Também possui assíntotas verticais em . O gráfico decresce continuamente de a em cada intervalo, cruzando o eixo em .
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.