Determine o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o domínio e esboçar o gráfico da função
. Aqui, estamos trabalhando com funções racionais, que são aquelas onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar analisar onde a função está definida (domínio) e entender o comportamento dela para desenhar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma fração, precisamos garantir que o denominador não seja zero, já que divisão por zero não é permitida.
Então, vamos resolver:
Portanto, o domínio da função é todos os números reais menos
.
Passo 3
Agora, vamos nos aprofundar um pouco mais na função para facilitar o esboço do gráfico. Vamos simplificar a expressão de
fatorando o numerador.
O numerador é
. Isso pode ser fatorado como:
Então, a função fica:
Podemos simplificar essa expressão cancelando um
:
Isso nos mostra que, para
, a função se comporta como uma linha reta
, mas está indefinida em
.
Passo 4
Vamos agora entender o que acontece no ponto
. A função original não está definida nesse ponto, mas ao simplificar, vimos que ela se assemelha a uma linha reta. Isso indica que há uma descontinuidade removível em
. Ou seja, o gráfico terá um “buraco” nesse ponto.
Para encontrar as coordenadas desse “buraco”, substituímos
na expressão simplificada:
Então, o ponto é
, mas a função não está definida aqui.
Passo 5
Finalmente, para esboçar o gráfico, refletimos tudo o que descobrimos:
- A função é uma linha reta
para todos os exceto . - Há um ponto vazio em
.
Então, o gráfico será uma linha reta que passa por todos os pontos da linha
, menos no ponto
.
Resposta
O domínio da função
é todos os números reais exceto
. O gráfico da função é uma linha reta
com um ponto vazio em
.