Determine o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções: f(x) = (x^2 - 4x + 4) / (x - 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o domínio e esboçar o gráfico da função . Aqui, estamos trabalhando com funções racionais, que são aquelas onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar analisar onde a função está definida (domínio) e entender o comportamento dela para desenhar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos uma fração, precisamos garantir que o denominador não seja zero, já que divisão por zero não é permitida.
Então, vamos resolver:
Portanto, o domínio da função é todos os números reais menos .

Passo 3

Agora, vamos nos aprofundar um pouco mais na função para facilitar o esboço do gráfico. Vamos simplificar a expressão de fatorando o numerador.
O numerador é . Isso pode ser fatorado como:
Então, a função fica:
Podemos simplificar essa expressão cancelando um :
Isso nos mostra que, para , a função se comporta como uma linha reta , mas está indefinida em .

Passo 4

Vamos agora entender o que acontece no ponto . A função original não está definida nesse ponto, mas ao simplificar, vimos que ela se assemelha a uma linha reta. Isso indica que há uma descontinuidade removível em . Ou seja, o gráfico terá um “buraco” nesse ponto.
Para encontrar as coordenadas desse “buraco”, substituímos na expressão simplificada:
Então, o ponto é , mas a função não está definida aqui.

Passo 5

Finalmente, para esboçar o gráfico, refletimos tudo o que descobrimos:
  • A função é uma linha reta para todos os exceto .
  • Há um ponto vazio em .
Então, o gráfico será uma linha reta que passa por todos os pontos da linha , menos no ponto .

Resposta

O domínio da função é todos os números reais exceto . O gráfico da função é uma linha reta com um ponto vazio em .

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