Resolva a EDO
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que você precisa resolver! A equação diferencial que temos é:
Estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de solução de EDOs, como substituições e fatores integrantes. Vamos destrinchar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para deixar ela mais fácil de trabalhar. Observe que temos termos com
e
. Uma boa estratégia aqui é fazer uma substituição para tornar a equação linear.
Vamos definir:
Isso significa que
. Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
:
Substituindo isso na equação original, temos:
Podemos cancelar
dos dois lados:
Passo 3
Agora, a equação ficou:
Vamos rearranjar para deixar na forma padrão de uma EDO linear:
Aqui, identificamos que:
Passo 4
Para resolver essa EDO linear, precisamos encontrar um fator integrante
, que é dado por:
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra direto para
. O lado direito, vamos resolver separadamente:
Integrando cada termo:
-
- Para
, usamos integração por partes: - Seja
e - Então,
e - Aplicando a fórmula:
- Seja
Então, juntando tudo:
Passo 6
Vamos resolver para
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 7
Para isolar
, vamos exponenciar ambos os lados:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.