Resolva a EDO
d y/d t = y/t (1 + ln(y) - ln(t))

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você precisa resolver! A equação diferencial que temos é:
d y/d t = y/t (1 + ln(y) - ln(t))
Estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de solução de EDOs, como substituições e fatores integrantes. Vamos destrinchar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para deixar ela mais fácil de trabalhar. Observe que temos termos com e . Uma boa estratégia aqui é fazer uma substituição para tornar a equação linear.
Vamos definir:
Isso significa que . Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a :
Substituindo isso na equação original, temos:
Podemos cancelar dos dois lados:

Passo 3

Agora, a equação ficou:
Vamos rearranjar para deixar na forma padrão de uma EDO linear:
Aqui, identificamos que:

Passo 4

Para resolver essa EDO linear, precisamos encontrar um fator integrante , que é dado por:
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo integra direto para . O lado direito, vamos resolver separadamente:
Integrando cada termo:
  • Para , usamos integração por partes:
    • Seja e
    • Então, e
    • Aplicando a fórmula:
Então, juntando tudo:

Passo 6

Vamos resolver para :
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 7

Para isolar , vamos exponenciar ambos os lados:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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